Номер 690, страница 199 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

690. У правильной шестиугольной призмы $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ ребра основания равны 1, боковые ребра — 2. Найдите расстояние от вершины A призмы:

а) до прямой $CD_1$;

б) до прямой $C_1D$;

в) до прямой $DE_1$;

г) до прямой $D_1E$;

д) до прямой $BC_1$;

е) до прямой $B_1C$.

Для решения задачи введем трехмерную декартову систему координат. Пусть центр $O$ основания $ABCDEF$ совпадает с началом координат $(0,0,0)$, а само основание лежит в плоскости $Oxy$. Так как призма правильная, ее основания — правильные шестиугольники. Пусть вершина $A$ лежит на положительной части оси $Ox$. Сторона основания равна $a=1$, боковое ребро (высота призмы) равно $h=2$. Координаты вершин нижнего основания:

• $A(1, 0, 0)$
• $B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
• $C(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
• $D(-1, 0, 0)$
• $E(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
• $F(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Координаты вершин верхнего основания:

• $A_1(1, 0, 2)$
• $B_1(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 2)$
• $C_1(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 2)$
• $D_1(-1, 0, 2)$
• $E_1(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 2)$
• $F_1(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 2)$

Расстояние $d$ от точки $M_0$ до прямой, проходящей через точки $M_1$ и $M_2$, вычисляется по формуле:$d = \frac{|\vec{M_1M_0} \times \vec{M_1M_2}|}{|\vec{M_1M_2}|}$. В нашей задаче точка $M_0$ — это вершина $A(1, 0, 0)$.

а) до прямой $CD_1$

Найдем расстояние от точки $A(1, 0, 0)$ до прямой, проходящей через точки $C(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ и $D_1(-1, 0, 2)$.

Вычислим векторы $\vec{CA}$ и $\vec{CD_1}$:

$\vec{CA} = A - C = (1 - (-\frac{1}{2}), 0 - \frac{\sqrt{3}}{2}, 0 - 0) = (\frac{3}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

$\vec{CD_1} = D_1 - C = (-1 - (-\frac{1}{2}), 0 - \frac{\sqrt{3}}{2}, 2 - 0) = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 2)$.

Векторное произведение:

$\vec{CA} \times \vec{CD_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{3}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} & 0 \\ -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} & 2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(-\sqrt{3}) - \mathbf{j}(3) + \mathbf{k}(-\frac{3\sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{3}}{4}) = (-\sqrt{3}, -3, -\sqrt{3})$.

Модуль векторного произведения: $|\vec{CA} \times \vec{CD_1}| = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + (-3)^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{3 + 9 + 3} = \sqrt{15}$.

Модуль направляющего вектора: $|\vec{CD_1}| = \sqrt{(-\frac{1}{2})^2 + (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 2^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4} + 4} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$.

Расстояние: $d = \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{5}} = \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$.

б) до прямой $C_1D$

Найдем расстояние от точки $A(1, 0, 0)$ до прямой, проходящей через точки $C_1(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 2)$ и $D(-1, 0, 0)$.

Выберем точку $D$ за начало. Векторы $\vec{DA}$ и $\vec{DC_1}$:

$\vec{DA} = A - D = (1 - (-1), 0 - 0, 0 - 0) = (2, 0, 0)$.

$\vec{DC_1} = C_1 - D = (-\frac{1}{2} - (-1), \frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 2 - 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 2)$.

Векторное произведение: $\vec{DA} \times \vec{DC_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 0 & 0 \\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0) - \mathbf{j}(4) + \mathbf{k}(\sqrt{3}) = (0, -4, \sqrt{3})$.

Модуль векторного произведения: $|\vec{DA} \times \vec{DC_1}| = \sqrt{0^2 + (-4)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{16 + 3} = \sqrt{19}$.

Модуль направляющего вектора: $|\vec{DC_1}| = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 2^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4} + 4} = \sqrt{5}$.

Расстояние: $d = \frac{\sqrt{19}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{95}}{5}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{95}}{5}$.

в) до прямой $DE_1$

Найдем расстояние от точки $A(1, 0, 0)$ до прямой, проходящей через точки $D(-1, 0, 0)$ и $E_1(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 2)$.

Выберем точку $D$ за начало. Векторы $\vec{DA}$ и $\vec{DE_1}$:

$\vec{DA} = (2, 0, 0)$.

$\vec{DE_1} = E_1 - D = (-\frac{1}{2} - (-1), -\frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 2 - 0) = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 2)$.

Векторное произведение: $\vec{DA} \times \vec{DE_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 0 & 0 \\ \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} & 2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0) - \mathbf{j}(4) + \mathbf{k}(-\sqrt{3}) = (0, -4, -\sqrt{3})$.

Модуль векторного произведения: $|\vec{DA} \times \vec{DE_1}| = \sqrt{0^2 + (-4)^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{16 + 3} = \sqrt{19}$.

Модуль направляющего вектора: $|\vec{DE_1}| = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 2^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4} + 4} = \sqrt{5}$.

Расстояние: $d = \frac{\sqrt{19}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{95}}{5}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{95}}{5}$.

г) до прямой $D_1E$

Найдем расстояние от точки $A(1, 0, 0)$ до прямой, проходящей через точки $D_1(-1, 0, 2)$ и $E(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Выберем точку $E$ за начало. Векторы $\vec{EA}$ и $\vec{ED_1}$:

$\vec{EA} = A - E = (1 - (-\frac{1}{2}), 0 - (-\frac{\sqrt{3}}{2}), 0 - 0) = (\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

$\vec{ED_1} = D_1 - E = (-1 - (-\frac{1}{2}), 0 - (-\frac{\sqrt{3}}{2}), 2 - 0) = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 2)$.

Векторное произведение: $\vec{EA} \times \vec{ED_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{3}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 0 \\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(\sqrt{3}) - \mathbf{j}(3) + \mathbf{k}(\frac{3\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4}) = (\sqrt{3}, -3, \sqrt{3})$.

Модуль векторного произведения: $|\vec{EA} \times \vec{ED_1}| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-3)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{3 + 9 + 3} = \sqrt{15}$.

Модуль направляющего вектора: $|\vec{ED_1}| = \sqrt{(-\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 2^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4} + 4} = \sqrt{5}$.

Расстояние: $d = \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{5}} = \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$.

д) до прямой $BC_1$

Найдем расстояние от точки $A(1, 0, 0)$ до прямой, проходящей через точки $B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ и $C_1(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 2)$.

Выберем точку $B$ за начало. Векторы $\vec{BA}$ и $\vec{BC_1}$:

$\vec{BA} = A - B = (1 - \frac{1}{2}, 0 - \frac{\sqrt{3}}{2}, 0 - 0) = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

$\vec{BC_1} = C_1 - B = (-\frac{1}{2} - \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}, 2 - 0) = (-1, 0, 2)$.

Векторное произведение: $\vec{BA} \times \vec{BC_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} & 0 \\ -1 & 0 & 2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(-\sqrt{3}) - \mathbf{j}(1) + \mathbf{k}(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = (-\sqrt{3}, -1, -\frac{\sqrt{3}}{2})$.

Модуль векторного произведения: $|\vec{BA} \times \vec{BC_1}| = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + (-1)^2 + (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{3 + 1 + \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{19}{4}} = \frac{\sqrt{19}}{2}$.

Модуль направляющего вектора: $|\vec{BC_1}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$.

Расстояние: $d = \frac{\sqrt{19}/2}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{19}}{2\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{95}}{10}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{95}}{10}$.

е) до прямой $B_1C$

Найдем расстояние от точки $A(1, 0, 0)$ до прямой, проходящей через точки $B_1(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 2)$ и $C(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Выберем точку $C$ за начало. Векторы $\vec{CA}$ и $\vec{CB_1}$:

$\vec{CA} = A - C = (1 - (-\frac{1}{2}), 0 - \frac{\sqrt{3}}{2}, 0 - 0) = (\frac{3}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

$\vec{CB_1} = B_1 - C = (\frac{1}{2} - (-\frac{1}{2}), \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}, 2 - 0) = (1, 0, 2)$.

Векторное произведение: $\vec{CA} \times \vec{CB_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{3}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(-\sqrt{3}) - \mathbf{j}(3) + \mathbf{k}(\frac{\sqrt{3}}{2}) = (-\sqrt{3}, -3, \frac{\sqrt{3}}{2})$.

Модуль векторного произведения: $|\vec{CA} \times \vec{CB_1}| = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + (-3)^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{3 + 9 + \frac{3}{4}} = \sqrt{12 + \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{51}{4}} = \frac{\sqrt{51}}{2}$.

Модуль направляющего вектора: $|\vec{CB_1}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$.

Расстояние: $d = \frac{\sqrt{51}/2}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{51}}{2\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{255}}{10}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{255}}{10}$.