Номер 683, страница 199 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

683. Запишите уравнение плоскости, проходящей через ось $Oz$ и параллельной прямой $AB$, если $A (2; 1; -1)$, $B (3; -2; 2)$.

Чтобы составить уравнение плоскости, нам нужно знать точку, через которую она проходит, и вектор нормали к этой плоскости. Плоскость, проходящая через точку $M_0(x_0, y_0, z_0)$ с вектором нормали $\vec{n} = (A, B, C)$, задается уравнением $A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0$.

1. Из условия, что плоскость проходит через ось $Oz$, следует, что она проходит через начало координат $O(0, 0, 0)$. Также это означает, что направляющий вектор оси $Oz$, которым является вектор $\vec{k} = (0, 0, 1)$, лежит в этой плоскости. Этот вектор будет одним из направляющих векторов искомой плоскости.

2. Из условия, что плоскость параллельна прямой $AB$, следует, что вектор $\vec{AB}$ параллелен этой плоскости. Он будет вторым направляющим вектором. Найдем его координаты, зная, что $A(2; 1; -1)$ и $B(3; -2; 2)$:

$\vec{AB} = (3 - 2; -2 - 1; 2 - (-1)) = (1; -3; 3)$.

3. Вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости перпендикулярен обоим направляющим векторам, лежащим в ней. Мы можем найти $\vec{n}$ как векторное произведение векторов $\vec{k}$ и $\vec{AB}$:

$\vec{n} = \vec{k} \times \vec{AB} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & -3 & 3 \end{vmatrix} = \vec{i}(0 \cdot 3 - 1 \cdot (-3)) - \vec{j}(0 \cdot 3 - 1 \cdot 1) + \vec{k}(0 \cdot (-3) - 0 \cdot 1) = 3\vec{i} + 1\vec{j} + 0\vec{k}$

Таким образом, вектор нормали имеет координаты $\vec{n} = (3; 1; 0)$.

4. Теперь мы можем записать уравнение плоскости, используя точку $O(0; 0; 0)$ и вектор нормали $\vec{n} = (3; 1; 0)$:

$3(x - 0) + 1(y - 0) + 0(z - 0) = 0$

Упрощая, получаем искомое уравнение:

$3x + y = 0$

Ответ: $3x + y = 0$.