Номер 679, страница 198 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

679. Диагонали прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ пересекаются в точке $Q$. Докажите, что:

a) $\cos \angle AQB + \cos \angle AQD + \cos \angle AQA_1 = 1$;

б) $\cos \angle AQC + \cos \angle AQD_1 + \cos \angle AQB_1 = -1$.

Пусть $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — прямоугольный параллелепипед. Обозначим длины его ребер, выходящих из вершины $A$, как $AB = a$, $AD = b$ и $AA_1 = c$.

Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке $Q$, которая является его центром симметрии. Эта точка делит каждую диагональ пополам. Следовательно, отрезки, соединяющие центр $Q$ с любой вершиной, равны по длине. Обозначим эту длину как $R$.

$R = QA = QB = QC = QD = QA_1 = QB_1 = QC_1 = QD_1$.

Длина $R$ равна половине длины пространственной диагонали $d$. Квадрат длины диагонали вычисляется по формуле $d^2 = a^2+b^2+c^2$. Таким образом, $R = \frac{d}{2}$, и следовательно, $4R^2 = a^2+b^2+c^2$.

а) Докажите, что $\cos \angle AQB + \cos \angle AQD + \cos \angle AQA_1 = 1$

Рассмотрим треугольники $\triangle AQB$, $\triangle AQD$ и $\triangle AQA_1$. Все они равнобедренные, так как их боковые стороны равны $R$. Применим к каждому из них теорему косинусов, чтобы выразить косинусы искомых углов.

В треугольнике $\triangle AQB$ стороны равны $AQ=R$, $BQ=R$ и $AB=a$. По теореме косинусов:

$AB^2 = AQ^2 + BQ^2 - 2 \cdot AQ \cdot BQ \cdot \cos \angle AQB$

$a^2 = R^2 + R^2 - 2R^2 \cos \angle AQB = 2R^2(1 - \cos \angle AQB)$

Отсюда выразим косинус угла $\angle AQB$:

$\cos \angle AQB = \frac{2R^2 - a^2}{2R^2}$

Аналогично для треугольника $\triangle AQD$ со сторонами $AQ=R$, $DQ=R$ и $AD=b$:

$b^2 = 2R^2 - 2R^2 \cos \angle AQD$

$\cos \angle AQD = \frac{2R^2 - b^2}{2R^2}$

И для треугольника $\triangle AQA_1$ со сторонами $AQ=R$, $A_1Q=R$ и $AA_1=c$:

$c^2 = 2R^2 - 2R^2 \cos \angle AQA_1$

$\cos \angle AQA_1 = \frac{2R^2 - c^2}{2R^2}$

Теперь сложим полученные выражения для косинусов:

$\cos \angle AQB + \cos \angle AQD + \cos \angle AQA_1 = \frac{2R^2 - a^2}{2R^2} + \frac{2R^2 - b^2}{2R^2} + \frac{2R^2 - c^2}{2R^2}$

$= \frac{(2R^2 - a^2) + (2R^2 - b^2) + (2R^2 - c^2)}{2R^2} = \frac{6R^2 - (a^2+b^2+c^2)}{2R^2}$

Используя ранее установленное соотношение $a^2+b^2+c^2 = 4R^2$, подставим его в числитель:

$\frac{6R^2 - 4R^2}{2R^2} = \frac{2R^2}{2R^2} = 1$

Таким образом, равенство $\cos \angle AQB + \cos \angle AQD + \cos \angle AQA_1 = 1$ доказано.

Ответ: Равенство доказано.

б) Докажите, что $\cos \angle AQC + \cos \angle AQD_1 + \cos \angle AQB_1 = -1$

Точка $Q$ является центром симметрии параллелепипеда. Это означает, что для каждой вершины существует диаметрально противоположная вершина. Пары противоположных вершин: $(A, C_1)$, $(B, D_1)$, $(C, A_1)$, $(D, B_1)$.

Рассмотрим это с точки зрения векторов с началом в точке $Q$. Так как $Q$ — середина диагоналей, то:

• $\vec{QD_1} = -\vec{QB}$ (из диагонали $BD_1$)
• $\vec{QB_1} = -\vec{QD}$ (из диагонали $DB_1$)
• $\vec{QC} = -\vec{QA_1}$ (из диагонали $A_1C$)

Теперь найдем косинусы углов из левой части доказываемого равенства, используя эти векторные соотношения и свойства смежных углов.

1. Угол $\angle AQD_1$ — это угол между векторами $\vec{QA}$ и $\vec{QD_1}$. Так как $\vec{QD_1} = -\vec{QB}$, то угол $\angle AQD_1$ является смежным с углом $\angle AQB$ (угол между $\vec{QA}$ и $\vec{QB}$).

$\angle AQD_1 = 180^\circ - \angle AQB$

Следовательно, $\cos \angle AQD_1 = \cos(180^\circ - \angle AQB) = -\cos \angle AQB$.

2. Угол $\angle AQB_1$ — это угол между векторами $\vec{QA}$ и $\vec{QB_1}$. Так как $\vec{QB_1} = -\vec{QD}$, то угол $\angle AQB_1$ является смежным с углом $\angle AQD$.

$\angle AQB_1 = 180^\circ - \angle AQD$

Следовательно, $\cos \angle AQB_1 = \cos(180^\circ - \angle AQD) = -\cos \angle AQD$.

3. Угол $\angle AQC$ — это угол между векторами $\vec{QA}$ и $\vec{QC}$. Так как $\vec{QC} = -\vec{QA_1}$, то угол $\angle AQC$ является смежным с углом $\angle AQA_1$.

$\angle AQC = 180^\circ - \angle AQA_1$

Следовательно, $\cos \angle AQC = \cos(180^\circ - \angle AQA_1) = -\cos \angle AQA_1$.

Подставим эти выражения в левую часть равенства из пункта б):

$\cos \angle AQC + \cos \angle AQD_1 + \cos \angle AQB_1 = (-\cos \angle AQA_1) + (-\cos \angle AQB) + (-\cos \angle AQD)$

$= -(\cos \angle AQB + \cos \angle AQD + \cos \angle AQA_1)$

Из пункта а) мы доказали, что сумма в скобках равна 1:

$= -(1) = -1$

Таким образом, равенство $\cos \angle AQC + \cos \angle AQD_1 + \cos \angle AQB_1 = -1$ доказано.

Ответ: Равенство доказано.