Номер 673, страница 198 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

673. Стороны треугольника $T_1$ параллельны медианам треугольника $T_2$.

Докажите, что стороны треугольника $T_2$ параллельны медианам треугольника $T_1$.

Для доказательства воспользуемся методом векторов. Пусть $T_2$ — это треугольник с вершинами $A, B, C$. Обозначим радиус-векторы этих вершин как $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ соответственно.

Стороны треугольника $T_2$ можно представить векторами: $\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}$, $\vec{BC} = \vec{c} - \vec{b}$, $\vec{CA} = \vec{a} - \vec{c}$.

Найдем векторы, соответствующие медианам треугольника $T_2$. Обозначим их $\vec{m}_a, \vec{m}_b, \vec{m}_c$, где индекс указывает на вершину, из которой проведена медиана.

• Вектор медианы из вершины $A$ к середине стороны $BC$: $\vec{m}_a = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} - \vec{a} = \frac{\vec{b} + \vec{c} - 2\vec{a}}{2}$
• Вектор медианы из вершины $B$ к середине стороны $AC$: $\vec{m}_b = \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2} - \vec{b} = \frac{\vec{a} + \vec{c} - 2\vec{b}}{2}$
• Вектор медианы из вершины $C$ к середине стороны $AB$: $\vec{m}_c = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} - \vec{c} = \frac{\vec{a} + \vec{b} - 2\vec{c}}{2}$

По условию задачи, стороны треугольника $T_1$ параллельны медианам треугольника $T_2$. Обозначим векторы сторон треугольника $T_1$ как $\vec{s}_1, \vec{s}_2, \vec{s}_3$. Условие параллельности означает, что существуют ненулевые скалярные коэффициенты $k_1, k_2, k_3$, для которых выполняются равенства:

$\vec{s}_1 = k_1 \vec{m}_a, \quad \vec{s}_2 = k_2 \vec{m}_b, \quad \vec{s}_3 = k_3 \vec{m}_c$

Поскольку $\vec{s}_1, \vec{s}_2, \vec{s}_3$ являются сторонами треугольника, их векторная сумма равна нулю: $\vec{s}_1 + \vec{s}_2 + \vec{s}_3 = \vec{0}$. Сумма векторов медиан любого треугольника также равна нулю: $\vec{m}_a + \vec{m}_b + \vec{m}_c = \vec{0}$.

Подставим выражения для $\vec{s}_i$ в уравнение их суммы: $k_1 \vec{m}_a + k_2 \vec{m}_b + k_3 \vec{m}_c = \vec{0}$. Известно, что $\vec{m}_c = -(\vec{m}_a + \vec{m}_b)$, подставим это в предыдущее уравнение:$k_1 \vec{m}_a + k_2 \vec{m}_b - k_3(\vec{m}_a + \vec{m}_b) = \vec{0}$

Сгруппируем члены: $(k_1 - k_3)\vec{m}_a + (k_2 - k_3)\vec{m}_b = \vec{0}$.

Векторы медиан $\vec{m}_a$ и $\vec{m}_b$ неколлинеарны (поскольку они проведены из разных вершин невырожденного треугольника). Следовательно, равенство возможно только в том случае, если коэффициенты при них равны нулю:$k_1 - k_3 = 0 \implies k_1 = k_3$$k_2 - k_3 = 0 \implies k_2 = k_3$

Отсюда следует, что все коэффициенты равны: $k_1 = k_2 = k_3 = k$. Это означает, что треугольник $T_1$ подобен треугольнику, построенному на медианах треугольника $T_2$, и его стороны равны:

$\vec{s}_1 = k \vec{m}_a, \quad \vec{s}_2 = k \vec{m}_b, \quad \vec{s}_3 = k \vec{m}_c$

Теперь найдем векторы медиан треугольника $T_1$. Обозначим их $\vec{\mu}_1, \vec{\mu}_2, \vec{\mu}_3$. Медиана треугольника, построенного на векторах $\vec{s}_1, \vec{s}_2, \vec{s}_3$, может быть выражена через эти векторы. Например, медиана, проведенная к стороне $\vec{s}_3$ (т.е. из вершины между сторонами $\vec{s}_1$ и $\vec{s}_2$), равна $\frac{\vec{s}_1 - \vec{s}_2}{2}$ (с точностью до знака, что не влияет на параллельность). Возьмем медианы в виде:

$\vec{\mu}_1 = \frac{\vec{s}_2 - \vec{s}_1}{2}, \quad \vec{\mu}_2 = \frac{\vec{s}_3 - \vec{s}_2}{2}, \quad \vec{\mu}_3 = \frac{\vec{s}_1 - \vec{s}_3}{2}$

Подставим в эти формулы выражения для $\vec{s}_i$ через медианы $\vec{m}_j$, а затем выражения для $\vec{m}_j$ через векторы вершин $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$.

$\vec{\mu}_1 = \frac{k}{2}(\vec{m}_b - \vec{m}_a) = \frac{k}{2} \left( \frac{\vec{a} + \vec{c} - 2\vec{b}}{2} - \frac{\vec{b} + \vec{c} - 2\vec{a}}{2} \right) = \frac{k}{4}(3\vec{a} - 3\vec{b}) = -\frac{3k}{4}(\vec{b} - \vec{a}) = -\frac{3k}{4}\vec{AB}$.
Следовательно, медиана $\vec{\mu}_1$ параллельна стороне $AB$ треугольника $T_2$.

$\vec{\mu}_2 = \frac{k}{2}(\vec{m}_c - \vec{m}_b) = \frac{k}{2} \left( \frac{\vec{a} + \vec{b} - 2\vec{c}}{2} - \frac{\vec{a} + \vec{c} - 2\vec{b}}{2} \right) = \frac{k}{4}(3\vec{b} - 3\vec{c}) = -\frac{3k}{4}(\vec{c} - \vec{b}) = -\frac{3k}{4}\vec{BC}$.
Следовательно, медиана $\vec{\mu}_2$ параллельна стороне $BC$ треугольника $T_2$.

$\vec{\mu}_3 = \frac{k}{2}(\vec{m}_a - \vec{m}_c) = \frac{k}{2} \left( \frac{\vec{b} + \vec{c} - 2\vec{a}}{2} - \frac{\vec{a} + \vec{b} - 2\vec{c}}{2} \right) = \frac{k}{4}(3\vec{c} - 3\vec{a}) = -\frac{3k}{4}(\vec{a} - \vec{c}) = -\frac{3k}{4}\vec{CA}$.
Следовательно, медиана $\vec{\mu}_3$ параллельна стороне $CA$ треугольника $T_2$.

Мы показали, что каждая из трех медиан треугольника $T_1$ параллельна одной из трех сторон треугольника $T_2$. Таким образом, утверждение задачи доказано.

Ответ: Утверждение доказано. Медианы треугольника $T_1$ действительно параллельны сторонам треугольника $T_2$.