Номер 667, страница 197 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

667. В параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ точки $M$ и $N$ — середины отрезков $AA_1$ и $BD$. Докажите, что прямые $MN$, $C_1D_1$ и $B_1C$ параллельны одной плоскости.

Для доказательства того, что три прямые параллельны одной плоскости, достаточно показать, что их направляющие векторы компланарны (лежат в одной плоскости или параллельны одной плоскости). Воспользуемся векторным методом.

1. Введем базисные векторы, отложенные от вершины $A$ параллелепипеда: $\vec{AB} = \vec{b}$, $\vec{AD} = \vec{d}$ и $\vec{AA_1} = \vec{a}$. Эти три вектора не компланарны.

2. Найдем радиус-векторы точек $M$ и $N$ относительно точки $A$.

• Точка $M$ — середина ребра $AA_1$. Следовательно, ее радиус-вектор $\vec{AM} = \frac{1}{2}\vec{AA_1} = \frac{1}{2}\vec{a}$.
• Точка $N$ — середина диагонали $BD$ основания $ABCD$. Ее радиус-вектор равен полусумме радиус-векторов концов отрезка $BD$: $\vec{AN} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AD}) = \frac{1}{2}(\vec{b} + \vec{d})$.

3. Определим направляющие векторы для каждой из трех прямых.

• Для прямой $MN$ направляющим вектором является вектор $\vec{MN}$:
  $\vec{MN} = \vec{AN} - \vec{AM} = \frac{1}{2}(\vec{b} + \vec{d}) - \frac{1}{2}\vec{a} = \frac{1}{2}(\vec{b} + \vec{d} - \vec{a})$.
• Для прямой $C_1D_1$: так как $A_1B_1C_1D_1$ — параллелограмм (верхнее основание), то $C_1D_1 \parallel B_1A_1$. Также $B_1A_1 \parallel BA$. Значит, прямая $C_1D_1$ параллельна прямой $BA$. В качестве ее направляющего вектора можно взять вектор $\vec{BA}$.
  $\vec{BA} = \vec{A} - \vec{B} = -\vec{AB} = -\vec{b}$.
• Для прямой $B_1C$: рассмотрим четырехугольник $A_1DCB_1$. В нем стороны $A_1D$ и $B_1C$ параллельны и равны, так как $\vec{A_1D} = \vec{AD} - \vec{AA_1} = \vec{d} - \vec{a}$ и $\vec{B_1C} = \vec{AC} - \vec{AB_1} = (\vec{AB} + \vec{AD}) - (\vec{AA_1} + \vec{AB}) = \vec{d} - \vec{a}$. Следовательно, $A_1DCB_1$ — параллелограмм, и $B_1C \parallel A_1D$. В качестве направляющего вектора для прямой $B_1C$ можно взять вектор $\vec{A_1D}$.
  $\vec{A_1D} = \vec{d} - \vec{a}$.

4. Проверим компланарность векторов $\vec{MN}$, $\vec{BA}$ и $\vec{A_1D}$. Для этого достаточно показать, что один из векторов можно выразить как линейную комбинацию двух других. Попробуем выразить $\vec{MN}$ через $\vec{BA}$ и $\vec{A_1D}$:
$\vec{MN} = k_1 \vec{BA} + k_2 \vec{A_1D}$
$\frac{1}{2}(\vec{b} + \vec{d} - \vec{a}) = k_1(-\vec{b}) + k_2(\vec{d} - \vec{a})$
$\frac{1}{2}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{d} - \frac{1}{2}\vec{a} = -k_1\vec{b} + k_2\vec{d} - k_2\vec{a}$

Так как векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{d}$ не компланарны (линейно независимы), мы можем приравнять коэффициенты при них в левой и правой частях равенства:
При $\vec{b}$: $\frac{1}{2} = -k_1 \implies k_1 = -\frac{1}{2}$
При $\vec{d}$: $\frac{1}{2} = k_2$
При $\vec{a}$: $-\frac{1}{2} = -k_2 \implies k_2 = \frac{1}{2}$

Поскольку мы нашли такие коэффициенты ($k_1 = -1/2$, $k_2 = 1/2$), которые удовлетворяют уравнению, вектор $\vec{MN}$ является линейной комбинацией векторов $\vec{BA}$ и $\vec{A_1D}$. Это означает, что три вектора $\vec{MN}$, $\vec{BA}$ и $\vec{A_1D}$ компланарны.

Поскольку направляющие векторы прямых $MN$, $C_1D_1$ (параллельной $BA$) и $B_1C$ (параллельной $A_1D$) компланарны, то сами прямые параллельны одной и той же плоскости (плоскости, параллельной этим трем векторам). Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.