Номер 660, страница 197 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

660. Найдите множество таких точек $M (x;y; z)$, сумма квадратов расстояний которых до точек $A (1; 2; 3)$, $B (2; 0; 4)$ и $C (3; -5; 2)$ равна 105.

Пусть искомая точка имеет координаты $M(x; y; z)$. Заданные точки: $A(1; 2; 3)$, $B(2; 0; 4)$ и $C(3; -5; 2)$.

Квадрат расстояния между двумя точками в пространстве $P_1(x_1; y_1; z_1)$ и $P_2(x_2; y_2; z_2)$ вычисляется по формуле: $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2$.

Выразим квадраты расстояний от точки $M$ до точек $A$, $B$ и $C$:
$MA^2 = (x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z - 3)^2$
$MB^2 = (x - 2)^2 + (y - 0)^2 + (z - 4)^2 = (x - 2)^2 + y^2 + (z - 4)^2$
$MC^2 = (x - 3)^2 + (y - (-5))^2 + (z - 2)^2 = (x - 3)^2 + (y + 5)^2 + (z - 2)^2$

По условию задачи, сумма этих квадратов расстояний равна 105: $MA^2 + MB^2 + MC^2 = 105$

Подставим выражения для квадратов расстояний в это уравнение: $((x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z - 3)^2) + ((x - 2)^2 + y^2 + (z - 4)^2) + ((x - 3)^2 + (y + 5)^2 + (z - 2)^2) = 105$

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые по переменным:

Для $x$: $(x^2 - 2x + 1) + (x^2 - 4x + 4) + (x^2 - 6x + 9) = 3x^2 - 12x + 14$

Для $y$: $(y^2 - 4y + 4) + y^2 + (y^2 + 10y + 25) = 3y^2 + 6y + 29$

Для $z$: $(z^2 - 6z + 9) + (z^2 - 8z + 16) + (z^2 - 4z + 4) = 3z^2 - 18z + 29$

Соберем все вместе в одно уравнение: $(3x^2 - 12x + 14) + (3y^2 + 6y + 29) + (3z^2 - 18z + 29) = 105$

$3x^2 - 12x + 3y^2 + 6y + 3z^2 - 18z + 72 = 105$

Перенесем свободный член в правую часть и упростим: $3x^2 - 12x + 3y^2 + 6y + 3z^2 - 18z = 105 - 72$

$3x^2 - 12x + 3y^2 + 6y + 3z^2 - 18z = 33$

Разделим обе части уравнения на 3: $x^2 - 4x + y^2 + 2y + z^2 - 6z = 11$

Теперь приведем уравнение к каноническому виду уравнения сферы $(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2$, выделив полные квадраты для каждой переменной.

$(x^2 - 4x + 4) - 4 + (y^2 + 2y + 1) - 1 + (z^2 - 6z + 9) - 9 = 11$

Сгруппируем полные квадраты: $(x - 2)^2 + (y + 1)^2 + (z - 3)^2 - 4 - 1 - 9 = 11$

$(x - 2)^2 + (y + 1)^2 + (z - 3)^2 - 14 = 11$

$(x - 2)^2 + (y + 1)^2 + (z - 3)^2 = 11 + 14$

$(x - 2)^2 + (y + 1)^2 + (z - 3)^2 = 25$

Полученное уравнение является уравнением сферы. Центр сферы находится в точке $O(2; -1; 3)$, а квадрат радиуса $R^2 = 25$, следовательно, радиус $R = 5$.

Ответ: Искомое множество точек — это сфера, заданная уравнением $(x - 2)^2 + (y + 1)^2 + (z - 3)^2 = 25$. Это сфера с центром в точке $O(2; -1; 3)$ и радиусом $R=5$.