Номер 653, страница 196 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

653. У прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ боковые грани параллельны координатным осям. Найдите координаты его вершин, учитывая, что $B(4; 2; -2)$, $D_1(-1; 3; 4)$.

Поскольку у прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ грани параллельны координатным осям, его ребра также параллельны осям координат. Даны координаты двух противоположных вершин: $B(4; 2; -2)$ и $D_1(-1; 3; 4)$. Это значит, что координаты всех восьми вершин $(x, y, z)$ будут составлены из следующих значений: $x \in \{-1, 4\}$, $y \in \{2, 3\}$ и $z \in \{-2, 4\}$.

Согласно стандартному обозначению, вершины $A, B, C, D$ образуют одно основание, а $A_1, B_1, C_1, D_1$ — другое. Вертикальные ребра (например, $BB_1$) параллельны оси $Oz$. Из координат $B(4; 2; -2)$ и $D_1(-1; 3; 4)$ следует, что основание $ABCD$ находится в плоскости $z=-2$, а основание $A_1B_1C_1D_1$ — в плоскости $z=4$.

Определим координаты остальных вершин. Две вершины, соединенные ребром, отличаются только одной координатой.

Координаты вершин нижнего основания (плоскость $z=-2$):

• $B(4; 2; -2)$ - дано.
• $A$: смежна с $B$. Ребро $AB$ параллельно оси $Ox$. Координаты $A$ отличаются от $B$ только по оси $x$. Следовательно, $A(-1; 2; -2)$.
• $C$: смежна с $B$. Ребро $BC$ параллельно оси $Oy$. Координаты $C$ отличаются от $B$ только по оси $y$. Следовательно, $C(4; 3; -2)$.
• $D$: смежна с $A$ и $C$. Имеет $x$-координату от $A$ и $y$-координату от $C$. Следовательно, $D(-1; 3; -2)$.

Координаты вершин верхнего основания (плоскость $z=4$):

• Вершины этого основания находятся над соответствующими вершинами нижнего основания, поэтому их координаты $x$ и $y$ совпадают, а координата $z$ равна $4$.
• $A_1(-1; 2; 4)$.
• $B_1(4; 2; 4)$.
• $C_1(4; 3; 4)$.
• $D_1(-1; 3; 4)$ - данная координата совпадает с полученной, что подтверждает верность рассуждений.

Ответ:
$A(-1; 2; -2)$
$B(4; 2; -2)$
$C(4; 3; -2)$
$D(-1; 3; -2)$
$A_1(-1; 2; 4)$
$B_1(4; 2; 4)$
$C_1(4; 3; 4)$
$D_1(-1; 3; 4)$