Номер 22, страница 194 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

22. Как использовать скалярное произведение для нахождения длины вектора; угла между векторами; угла между прямыми?

Скалярное произведение является мощным инструментом в векторной алгебре, который позволяет находить геометрические величины, такие как длины и углы, связывая алгебраические операции над векторами с их геометрическими свойствами.

Как использовать скалярное произведение для нахождения длины вектора

Скалярное произведение вектора $\vec{a}$ на самого себя, обозначаемое как $\vec{a} \cdot \vec{a}$ или $\vec{a}^2$, по определению равно квадрату его длины (модуля). Вспомним геометрическое определение скалярного произведения: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\theta$, где $\theta$ — угол между векторами.

Если мы умножаем вектор $\vec{a}$ скалярно на себя, то угол $\theta$ между вектором и им же самим равен 0, а $\cos(0) = 1$.

Следовательно, скалярное произведение вектора на себя равно: $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}| |\vec{a}| \cos(0) = |\vec{a}|^2$.

Отсюда следует, что длина вектора $|\vec{a}|$ — это квадратный корень из скалярного произведения этого вектора на самого себя.

Если вектор $\vec{a}$ задан своими координатами в ортонормированном базисе, например, в трехмерном пространстве $\vec{a} = (a_x, a_y, a_z)$, то его скалярный квадрат равен сумме квадратов его координат: $\vec{a} \cdot \vec{a} = a_x^2 + a_y^2 + a_z^2$. Тогда его длина вычисляется по знакомой формуле: $|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}$.

Ответ: Длина вектора $\vec{a}$ находится как корень квадратный из его скалярного квадрата: $|\vec{a}| = \sqrt{\vec{a} \cdot \vec{a}}$.

Как использовать скалярное произведение для нахождения угла между векторами

Для нахождения угла между двумя ненулевыми векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ снова используется основное определение скалярного произведения: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\theta$, где $\theta$ — искомый угол между векторами ($0 \le \theta \le \pi$).

Выразив из этой формулы косинус угла, получаем: $\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$.

Если векторы заданы в координатной форме, $\vec{a} = (a_x, a_y, a_z)$ и $\vec{b} = (b_x, b_y, b_z)$, то формула принимает вид: $\cos\theta = \frac{a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z}{\sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2} \cdot \sqrt{b_x^2 + b_y^2 + b_z^2}}$.

Сам угол $\theta$ находится взятием арккосинуса от полученного значения: $\theta = \arccos\left(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}\right)$.

Ответ: Косинус угла $\theta$ между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равен отношению их скалярного произведения к произведению их длин: $\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$.

Как использовать скалярное произведение для нахождения угла между прямыми

Угол между двумя прямыми $\phi$ определяется как наименьший из углов, образованных при их пересечении. Этот угол всегда находится в пределах от 0 до $90^\circ$ (или от 0 до $\pi/2$ радиан).

Чтобы найти этот угол, можно использовать направляющие векторы этих прямых. Пусть $\vec{d_1}$ и $\vec{d_2}$ — направляющие векторы двух прямых.

Угол $\theta$ между направляющими векторами может быть как острым ($0 \le \theta \le \pi/2$), так и тупым ($\pi/2 < \theta \le \pi$). Угол же между прямыми $\phi$ по определению является острым (или прямым).

Если угол $\theta$ между векторами острый, то он совпадает с углом между прямыми: $\phi = \theta$. Если же угол $\theta$ тупой, то угол между прямыми равен $\phi = \pi - \theta$.

Учитывая свойство косинуса $\cos(\pi - \theta) = -\cos(\theta)$, в обоих случаях косинус угла между прямыми будет равен модулю косинуса угла между их направляющими векторами: $\cos\phi = |\cos\theta|$. Это позволяет использовать формулу для косинуса угла между векторами, взяв скалярное произведение по модулю, чтобы результат всегда был неотрицательным.

Таким образом, формула для косинуса угла между прямыми: $\cos\phi = \frac{|\vec{d_1} \cdot \vec{d_2}|}{|\vec{d_1}| |\vec{d_2}|}$.

Если прямые заданы каноническими уравнениями в пространстве с направляющими векторами $\vec{d_1} = (l_1, m_1, n_1)$ и $\vec{d_2} = (l_2, m_2, n_2)$, формула выглядит так: $\cos\phi = \frac{|l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2|}{\sqrt{l_1^2 + m_1^2 + n_1^2} \cdot \sqrt{l_2^2 + m_2^2 + n_2^2}}$.

Аналогично, если на плоскости прямые заданы общими уравнениями с векторами нормали $\vec{n_1} = (A_1, B_1)$ и $\vec{n_2} = (A_2, B_2)$, угол между ними находится по той же формуле, но с использованием векторов нормали.

Ответ: Косинус угла $\phi$ между прямыми с направляющими векторами $\vec{d_1}$ и $\vec{d_2}$ находится по формуле: $\cos\phi = \frac{|\vec{d_1} \cdot \vec{d_2}|}{|\vec{d_1}| |\vec{d_2}|}$.