Номер 16, страница 194 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

16. Как найти координаты вектора по координатам его концов?

Как найти координаты вектора по координатам его концов?

Чтобы найти координаты вектора, необходимо из координат его конечной точки (конца) вычесть соответствующие координаты его начальной точки (начала). Это правило является фундаментальным и применяется для векторов в любом измерении (на плоскости, в трехмерном пространстве и т.д.).

Рассмотрим вектор $\vec{AB}$, где точка $A$ — это его начало, а точка $B$ — его конец.

1. Для вектора на плоскости (в двумерном пространстве):
Если координаты начальной точки $A$ равны $(x_1, y_1)$, а координаты конечной точки $B$ равны $(x_2, y_2)$, то координаты вектора $\vec{AB}$ вычисляются по следующей формуле:
$\vec{AB} = \{x_2 - x_1; y_2 - y_1\}$

Пример: Найдем координаты вектора $\vec{CD}$, если даны точки $C(2, -4)$ и $D(-1, 3)$.
Абсцисса (координата x) вектора: $x_D - x_C = -1 - 2 = -3$.
Ордината (координата y) вектора: $y_D - y_C = 3 - (-4) = 3 + 4 = 7$.
Таким образом, вектор $\vec{CD}$ имеет координаты $\{-3; 7\}$.

2. Для вектора в пространстве (в трехмерном пространстве):
Правило полностью аналогично. Если координаты начальной точки $A$ равны $(x_1, y_1, z_1)$, а координаты конечной точки $B$ равны $(x_2, y_2, z_2)$, то формула для координат вектора $\vec{AB}$ выглядит так:
$\vec{AB} = \{x_2 - x_1; y_2 - y_1; z_2 - z_1\}$

Пример: Найдем координаты вектора $\vec{MN}$, если даны точки $M(5, 0, 8)$ и $N(1, -2, 3)$.
Абсцисса (координата x) вектора: $x_N - x_M = 1 - 5 = -4$.
Ордината (координата y) вектора: $y_N - y_M = -2 - 0 = -2$.
Аппликата (координата z) вектора: $z_N - z_M = 3 - 8 = -5$.
Таким образом, вектор $\vec{MN}$ имеет координаты $\{-4; -2; -5\}$.

Ответ: Каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала. Для вектора $\vec{AB}$ с началом в точке $A(x_1, y_1, z_1)$ и концом в точке $B(x_2, y_2, z_2)$, его координаты вычисляются по формуле $\vec{AB} = \{x_2 - x_1; y_2 - y_1; z_2 - z_1\}$.