Номер 11, страница 193 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

11. Какие свойства имеет умножение вектора на число?

Умножение вектора на число (также называемое умножением на скаляр) обладает следующими свойствами. Для любых векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$ и любых чисел (скаляров) $k$, $m$ справедливы следующие равенства:

1. Сочетательное свойство (ассоциативность)
Произведение вектора на произведение чисел равно произведению первого числа на вектор, умноженный на второе число. Это означает, что не важен порядок, в котором числа перемножаются со вектором.
Ответ: $(km)\vec{a} = k(m\vec{a})$

2. Первое распределительное свойство (дистрибутивность относительно сложения чисел)
Произведение суммы чисел на вектор равно сумме произведений каждого из этих чисел на данный вектор.
Ответ: $(k+m)\vec{a} = k\vec{a} + m\vec{a}$

3. Второе распределительное свойство (дистрибутивность относительно сложения векторов)
Произведение числа на сумму двух векторов равно сумме произведений этого числа на каждый из векторов.
Ответ: $k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$

4. Свойство умножения на единицу
При умножении любого вектора на число 1 получается тот же самый вектор. Число 1 является нейтральным элементом для операции умножения вектора на число.
Ответ: $1 \cdot \vec{a} = \vec{a}$

Из этих свойств также следуют два важных частных случая:

5. Умножение на ноль
Произведение любого вектора на число 0 дает нулевой вектор.
Ответ: $0 \cdot \vec{a} = \vec{0}$

6. Умножение на минус единицу
Произведение любого вектора на число -1 дает вектор, противоположный данному.
Ответ: $(-1) \cdot \vec{a} = -\vec{a}$