Номер 8, страница 193 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

8. Какие свойства имеет сложение векторов?

Сложение векторов — это операция, результатом которой является новый вектор. Эта операция обладает следующими основными свойствами для любых векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$:

Переместительное (коммутативное) свойство. Сумма векторов не зависит от порядка слагаемых. Это означает, что если поменять местами слагаемые векторы, их сумма не изменится. Геометрически это свойство легко проиллюстрировать с помощью правила параллелограмма: диагональ параллелограмма, построенного на векторах $\vec{a}$ и $\vec{b}$, отложенных из одной точки, является их суммой независимо от того, какой вектор считать первым.
Ответ: $\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$

Сочетательное (ассоциативное) свойство. При сложении трех и более векторов результат не зависит от расстановки скобок. То есть можно сначала сложить первые два вектора, а затем к их сумме прибавить третий, либо сначала сложить второй и третий векторы, а затем к этой сумме прибавить первый. Результат будет одинаковым.
Ответ: $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$

Сложение с нулевым вектором. Существует такой вектор, который называется нулевым вектором (обозначается как $\vec{0}$), что его сложение с любым другим вектором не изменяет этот вектор. Нулевой вектор — это вектор, у которого начало и конец совпадают, а его длина равна нулю.
Ответ: $\vec{a} + \vec{0} = \vec{a}$

Сложение с противоположным вектором. Для каждого вектора $\vec{a}$ существует противоположный ему вектор $-\vec{a}$, который имеет ту же длину (модуль), что и вектор $\vec{a}$, но направлен в противоположную сторону. Сумма вектора и его противоположного вектора равна нулевому вектору.
Ответ: $\vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{0}$