Номер 14, страница 193 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

14. Сформулируйте свойство, которым обладают любые четыре вектора пространства.

Фундаментальное свойство, которым обладают любые четыре вектора в трехмерном пространстве, — это линейная зависимость.

Это означает, что для любых четырех векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ и $\vec{d}$ всегда можно найти такие числа $k_1, k_2, k_3, k_4$, из которых хотя бы одно не равно нулю, что их линейная комбинация будет равна нулевому вектору:
$k_1\vec{a} + k_2\vec{b} + k_3\vec{c} + k_4\vec{d} = \vec{0}$

Другими словами, по крайней мере один из четырех векторов можно выразить через три остальных.

Доказательство этого свойства:

Рассмотрим четыре произвольных вектора в пространстве: $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ и $\vec{d}$. При анализе этих векторов возможны два исхода:

1. Среди векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ есть три некомпланарных (линейно независимых).
Три некомпланарных вектора в трехмерном пространстве образуют базис. Это значит, что любой другой вектор в этом пространстве, включая наш четвертый вектор $\vec{d}$, можно однозначно представить как их линейную комбинацию:
$\vec{d} = x\vec{a} + y\vec{b} + z\vec{c}$
где $x, y, z$ — это некоторые действительные числа (координаты вектора $\vec{d}$ в базисе $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$).
Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:
$x\vec{a} + y\vec{b} + z\vec{c} - 1 \cdot \vec{d} = \vec{0}$
Мы получили линейную комбинацию четырех векторов, равную нулевому вектору. Коэффициент при векторе $\vec{d}$ равен -1, что не равно нулю. Следовательно, по определению, векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ и $\vec{d}$ являются линейно зависимыми.

2. Векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ являются компланарными (линейно зависимыми).
Если три вектора компланарны, это по определению означает, что они линейно зависимы. То есть существуют такие числа $k_1, k_2, k_3$, не все равные нулю, что выполняется равенство:
$k_1\vec{a} + k_2\vec{b} + k_3\vec{c} = \vec{0}$
Мы можем добавить к этому равенству четвертый вектор $\vec{d}$ с коэффициентом, равным нулю:
$k_1\vec{a} + k_2\vec{b} + k_3\vec{c} + 0 \cdot \vec{d} = \vec{0}$
В полученной линейной комбинации не все коэффициенты равны нулю (так как по крайней мере один из $k_1, k_2, k_3$ отличен от нуля). Это означает, что система из четырех векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ и $\vec{d}$ также является линейно зависимой.

Таким образом, в любом случае любые четыре вектора в трехмерном пространстве линейно зависимы. Это следствие того, что размерность пространства равна трем, и в нем не может существовать более трех линейно независимых векторов.

Ответ: Любые четыре вектора в пространстве являются линейно зависимыми.