Номер 7, страница 193 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

7. Как можно найти сумму векторов?

Сумму векторов можно найти несколькими способами, которые делятся на два основных типа: геометрические (при графическом задании векторов) и аналитический (при задании векторов в координатах).

Геометрические методы

Эти методы основаны на наглядном построении и используются, когда векторы заданы графически.

Правило треугольника (для двух векторов)

Чтобы сложить два вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ по правилу треугольника, необходимо последовательно отложить эти векторы так, чтобы начало второго вектора совпадало с концом первого.

1. От произвольной точки $A$ откладываем вектор $\vec{AB}$, равный вектору $\vec{a}$.
2. От конца первого вектора (точки $B$) откладываем вектор $\vec{BC}$, равный вектору $\vec{b}$.
3. Вектор суммы $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$ будет направлен из начала первого вектора (точка $A$) в конец второго вектора (точка $C$). То есть, $\vec{c} = \vec{AC}$.

Таким образом, для любых трех точек $A, B, C$ справедливо равенство: $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$.

Ответ: Сумма двух векторов по правилу треугольника — это вектор, соединяющий начало первого вектора с концом второго, при условии, что второй вектор отложен от конца первого.

Правило параллелограмма (для двух векторов)

Этот способ применяется, когда два неколлинеарных вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ отложены из одной точки.

1. От произвольной точки $O$ откладываем оба вектора: $\vec{OA} = \vec{a}$ и $\vec{OB} = \vec{b}$.
2. На этих векторах, как на смежных сторонах, достраиваем параллелограмм $OACB$.
3. Вектор суммы $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$ совпадает с диагональю этого параллелограмма, исходящей из их общего начала $O$. То есть, $\vec{c} = \vec{OC}$.

Ответ: Сумма двух векторов, отложенных от одной точки, равна диагонали параллелограмма, построенного на этих векторах как на сторонах и исходящей из их общего начала.

Правило многоугольника (для трех и более векторов)

Данное правило является обобщением правила треугольника и позволяет найти сумму любого количества векторов.

1. Из произвольной точки последовательно откладываем все векторы так, чтобы начало каждого следующего вектора совпадало с концом предыдущего.
2. Например, для сложения векторов $\vec{a_1}, \vec{a_2}, ..., \vec{a_n}$ строим ломаную линию: от точки $A_0$ откладываем $\vec{A_0A_1} = \vec{a_1}$, затем от точки $A_1$ откладываем $\vec{A_1A_2} = \vec{a_2}$, и так далее до $\vec{A_{n-1}A_n} = \vec{a_n}$.
3. Вектор суммы (называемый замыкающим вектором) будет направлен из начала первого вектора (точка $A_0$) в конец последнего (точка $A_n$). Таким образом, $\vec{S} = \vec{A_0A_n}$.

Если ломаная линия оказывается замкнутой (то есть конец последнего вектора совпадает с началом первого, $A_n = A_0$), то сумма векторов равна нулевому вектору ($\vec{S} = \vec{0}$).

Ответ: Сумма нескольких векторов по правилу многоугольника — это замыкающий вектор, идущий от начала первого вектора к концу последнего в построенной из них последовательной цепочке.

Аналитический (координатный) метод

Этот метод используется, если векторы заданы своими координатами в какой-либо системе координат (например, в декартовой). Суммой векторов является вектор, координаты которого равны суммам соответствующих координат слагаемых векторов.

Если даны векторы на плоскости: $\vec{a} = \{x_a; y_a\}$ и $\vec{b} = \{x_b; y_b\}$, то их сумма $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$ вычисляется так:

$\vec{c} = \{x_a + x_b; y_a + y_b\}$

Если векторы заданы в трехмерном пространстве: $\vec{a} = \{x_a; y_a; z_a\}$ и $\vec{b} = \{x_b; y_b; z_b\}$, то их сумма $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$ вычисляется так:

$\vec{c} = \{x_a + x_b; y_a + y_b; z_a + z_b\}$

Это правило справедливо для любого числа слагаемых векторов и для пространства любой размерности.

Ответ: Чтобы найти сумму векторов, заданных в координатной форме, нужно сложить их соответствующие координаты.