Номер 652, страница 189 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

652. Шар с радиусом 15 см цилиндрически просверлен по оси. Диаметр отверстия 18 см. Найдите полную поверхность полученного тела.

Полная поверхность полученного тела состоит из двух частей: площади внешней сферической поверхности (так называемого сферического пояса или зоны) и площади внутренней боковой поверхности цилиндрического отверстия.

Обозначим радиус шара как $R$, а радиус цилиндрического отверстия как $r$.

По условию задачи:

Радиус шара: $R = 15$ см.

Диаметр отверстия: $d = 18$ см, следовательно, радиус отверстия: $r = d/2 = 18/2 = 9$ см.

1. Найдем высоту $h$ сферического пояса (которая равна высоте цилиндрического отверстия).

Рассмотрим осевое сечение шара. Это будет круг радиусом $R$. Цилиндрическое отверстие в сечении будет представлять собой прямоугольник. Мы можем рассмотреть прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза — это радиус шара $R$, один катет — это радиус отверстия $r$, а второй катет — это половина высоты пояса ($h/2$).

По теореме Пифагора:

$R^2 = r^2 + (h/2)^2$

Выразим $h/2$:

$(h/2)^2 = R^2 - r^2$

$(h/2)^2 = 15^2 - 9^2 = 225 - 81 = 144$

$h/2 = \sqrt{144} = 12$ см.

Следовательно, полная высота $h$ равна:

$h = 2 \cdot 12 = 24$ см.

2. Найдем площадь сферического пояса ($S_{зоны}$).

Площадь сферического пояса вычисляется по формуле:

$S_{зоны} = 2\pi R h$

Подставим наши значения:

$S_{зоны} = 2\pi \cdot 15 \cdot 24 = 720\pi$ см².

3. Найдем площадь боковой поверхности внутреннего цилиндра ($S_{цил}$).

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле:

$S_{цил} = 2\pi r h$

Подставим наши значения:

$S_{цил} = 2\pi \cdot 9 \cdot 24 = 432\pi$ см².

4. Найдем полную поверхность полученного тела ($S_{полная}$).

Полная поверхность является суммой площади сферического пояса и площади боковой поверхности цилиндра:

$S_{полная} = S_{зоны} + S_{цил}$

$S_{полная} = 720\pi + 432\pi = 1152\pi$ см².

Ответ: $1152\pi$ см².