Номер 649, страница 189 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

649. Газовый резервуар имеет форму цилиндра, прикрытого сверху шаровым сегментом. Радиус цилиндра равен 15 дм, высота цилиндрической части — 100 дм, а полная высота резервуара — 125 дм. Найдите его объем.

Объем резервуара представляет собой сумму объемов двух геометрических тел: цилиндра и шарового сегмента, который его покрывает. Найдем объем каждой из этих частей по отдельности, а затем сложим их.

1. Нахождение объема цилиндрической части.

Объем цилиндра ($V_ц$) вычисляется по формуле $V_ц = \pi r^2 h$, где $r$ — радиус основания, а $h$ — высота.

По условию задачи:

• Радиус цилиндра $r = 15$ дм.
• Высота цилиндрической части $h_ц = 100$ дм.

Подставляем значения в формулу:

$V_ц = \pi \cdot 15^2 \cdot 100 = \pi \cdot 225 \cdot 100 = 22500\pi$ дм³.

2. Нахождение объема шарового сегмента.

Сначала определим высоту шарового сегмента ($h_с$). Она равна разности полной высоты резервуара и высоты цилиндрической части.

Полная высота резервуара $H = 125$ дм.

$h_с = H - h_ц = 125 - 100 = 25$ дм.

Радиус основания шарового сегмента равен радиусу цилиндра, то есть $r_с = 15$ дм.

Объем шарового сегмента ($V_с$) можно найти по формуле $V_с = \frac{1}{6}\pi h_с (3r_с^2 + h_с^2)$.

Подставляем известные значения $h_с = 25$ дм и $r_с = 15$ дм:

$V_с = \frac{1}{6}\pi \cdot 25 \cdot (3 \cdot 15^2 + 25^2) = \frac{25\pi}{6} (3 \cdot 225 + 625) = \frac{25\pi}{6} (675 + 625) = \frac{25\pi}{6} \cdot 1300 = \frac{32500\pi}{6} = \frac{16250\pi}{3}$ дм³.

3. Нахождение полного объема резервуара.

Полный объем резервуара ($V$) равен сумме объемов цилиндра и шарового сегмента:

$V = V_ц + V_с = 22500\pi + \frac{16250\pi}{3}$

Приведем к общему знаменателю:

$V = \frac{3 \cdot 22500\pi}{3} + \frac{16250\pi}{3} = \frac{67500\pi + 16250\pi}{3} = \frac{83750\pi}{3}$ дм³.

Ответ: $\frac{83750\pi}{3}$ дм³.