Номер 651, страница 189 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

651. Шар образован вращением полукруга вокруг прямой, которая содержит диаметр. При этом поверхность, образованная вращением хорды, один конец которой совпадает с концом данного диаметра, делит шар на части с равными объемами. Найдите косинус угла между этой хордой и диаметром.

Пусть шар образован вращением полукруга радиуса $R$ вокруг диаметра, лежащего на оси $Ox$, с центром в начале координат. Диаметр расположен на отрезке $[-R, R]$.

Хорда, о которой идет речь в задаче, одним концом совпадает с концом диаметра. Пусть это будет точка $A(R, 0)$. Второй конец хорды, точка $B$, лежит на полуокружности. Обозначим угол между хордой $AB$ и диаметром как $\alpha$. В треугольнике $OAB$, где $O$ - центр шара, стороны $OA$ и $OB$ равны радиусу $R$. Следовательно, треугольник $OAB$ равнобедренный, и $\angle OBA = \angle OAB = \alpha$. Тогда угол при вершине $O$ равен $\angle AOB = \pi - 2\alpha$.

Поверхность, образованная вращением хорды $AB$ вокруг диаметра, является боковой поверхностью конуса. Эта поверхность делит шар на две части. Одна часть — это тело, полученное вращением сегмента круга, отсекаемого хордой $AB$. Вторая часть — оставшаяся часть шара. По условию, объемы этих двух частей равны. Это означает, что объем каждой части равен половине объема шара.

Объем шара вычисляется по формуле:

$V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3$

Следовательно, объем тела, образованного вращением сегмента круга ($V_1$), должен быть равен:

$V_1 = \frac{1}{2} V_{шара} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{2}{3}\pi R^3$

Объем $V_1$ можно найти как разность объемов шарового сегмента (тела вращения криволинейной трапеции под дугой $AB$) и конуса (тела вращения треугольника, образованного хордой $AB$ и ее проекцией на ось вращения).

Найдем параметры этих тел. Проведем из точки $B$ перпендикуляр $BC$ на диаметр. Координата точки $C$ на оси $Ox$ будет $x_C = R \cos(\angle AOB) = R \cos(\pi - 2\alpha) = -R \cos(2\alpha)$.

Высота шарового сегмента и конуса $h$ равна:

$h = R - x_C = R - (-R \cos(2\alpha)) = R(1 + \cos(2\alpha))$

Используя формулу двойного угла, $1 + \cos(2\alpha) = 2\cos^2(\alpha)$, получаем:

$h = 2R\cos^2(\alpha)$

Радиус основания конуса $r$ равен длине отрезка $BC$:

$r = |y_B| = R \sin(\angle AOB) = R \sin(\pi - 2\alpha) = R \sin(2\alpha)$

Используя формулу двойного угла, $\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$, получаем:

$r = 2R\sin(\alpha)\cos(\alpha)$

Объем шарового сегмента $V_{сегм}$ вычисляется по формуле $V_{сегм} = \pi h^2 (R - \frac{h}{3})$. Подставим $h$:

$V_{сегм} = \pi (2R\cos^2\alpha)^2 (R - \frac{2R\cos^2\alpha}{3}) = 4\pi R^2\cos^4\alpha \cdot R(1 - \frac{2}{3}\cos^2\alpha) = 4\pi R^3\cos^4\alpha (1 - \frac{2}{3}\cos^2\alpha)$

Объем конуса $V_{кон}$ вычисляется по формуле $V_{кон} = \frac{1}{3}\pi r^2 h$. Подставим $r$ и $h$:

$V_{кон} = \frac{1}{3}\pi (2R\sin\alpha\cos\alpha)^2 (2R\cos^2\alpha) = \frac{1}{3}\pi (4R^2\sin^2\alpha\cos^2\alpha) (2R\cos^2\alpha) = \frac{8}{3}\pi R^3\sin^2\alpha\cos^4\alpha$

Теперь найдем объем $V_1$ как разность объемов:

$V_1 = V_{сегм} - V_{кон} = 4\pi R^3\cos^4\alpha (1 - \frac{2}{3}\cos^2\alpha) - \frac{8}{3}\pi R^3\sin^2\alpha\cos^4\alpha$

Вынесем общий множитель $\frac{4}{3}\pi R^3\cos^4\alpha$:

$V_1 = \frac{4}{3}\pi R^3\cos^4\alpha [3(1 - \frac{2}{3}\cos^2\alpha) - 2\sin^2\alpha] = \frac{4}{3}\pi R^3\cos^4\alpha [3 - 2\cos^2\alpha - 2\sin^2\alpha]$

Так как $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, то $2\sin^2\alpha + 2\cos^2\alpha = 2$.

$V_1 = \frac{4}{3}\pi R^3\cos^4\alpha [3 - 2(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha)] = \frac{4}{3}\pi R^3\cos^4\alpha [3 - 2] = \frac{4}{3}\pi R^3\cos^4\alpha$

Приравниваем полученный объем к половине объема шара:

$\frac{4}{3}\pi R^3\cos^4\alpha = \frac{2}{3}\pi R^3$

Сокращаем обе части на $\frac{2}{3}\pi R^3$:

$2\cos^4\alpha = 1$

$\cos^4\alpha = \frac{1}{2}$

Так как угол $\alpha$ острый (как угол в прямоугольном треугольнике, вписанном в полукруг), его косинус положителен. Извлекаем корень четвертой степени:

$\cos\alpha = \sqrt[4]{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt[4]{2}}$

Можно также представить ответ в виде $\cos^2\alpha = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, откуда $\cos\alpha = \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{2}}$.

Ответ: $\frac{1}{\sqrt[4]{2}}$