Номер 648, страница 188 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

648. Определите, сколько воды вмещает котел, размеры которого на рис. 406 даны в сантиметрах.

Рис. 406

Для определения вместимости котла необходимо рассчитать его внутренний объем. На рисунке представлено осевое сечение котла. Исходя из формы сечения, которое состоит из прямоугольника и полукруга, можно сделать вывод, что котел представляет собой тело вращения, состоящее из цилиндра (верхняя часть) и полусферы (нижняя часть).

Размеры, указанные на рисунке, позволяют определить параметры этих геометрических тел. Высота цилиндрической части составляет $h = 200$ см. Ширина верхней части, равная 200 см, является диаметром как цилиндра, так и полусферы. Следовательно, радиус обеих частей равен $r = \frac{200}{2} = 100$ см. Это значение также указано на рисунке как радиус полукруга.

Общий объем котла $V_{общ}$ равен сумме объемов цилиндрической части $V_{цил}$ и полусферической части $V_{п/сф}$.

Объем цилиндра вычисляется по формуле $V_{цил} = \pi r^2 h$. Подставив наши значения, получаем:
$V_{цил} = \pi \cdot (100 \text{ см})^2 \cdot 200 \text{ см} = \pi \cdot 10000 \text{ см}^2 \cdot 200 \text{ см} = 2\,000\,000 \pi \text{ см}^3$.

Объем полусферы равен половине объема полной сферы. Объем сферы вычисляется по формуле $V_{сферы} = \frac{4}{3} \pi r^3$. Таким образом, объем полусферы:
$V_{п/сф} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{2}{3} \pi r^3$.
Подставим значение радиуса:
$V_{п/сф} = \frac{2}{3} \pi (100 \text{ см})^3 = \frac{2}{3} \pi \cdot 1\,000\,000 \text{ см}^3 = \frac{2\,000\,000}{3} \pi \text{ см}^3$.

Теперь найдем общий объем котла, сложив объемы его частей:
$V_{общ} = V_{цил} + V_{п/сф} = 2\,000\,000 \pi \text{ см}^3 + \frac{2\,000\,000}{3} \pi \text{ см}^3$
$V_{общ} = (\frac{6\,000\,000}{3} + \frac{2\,000\,000}{3}) \pi \text{ см}^3 = \frac{8\,000\,000}{3} \pi \text{ см}^3$.

Это точный ответ. Для практического применения можно вычислить приблизительное значение, используя $\pi \approx 3,14159$.
$V_{общ} \approx \frac{8\,000\,000}{3} \cdot 3,14159 \approx 8\,377\,580 \text{ см}^3$.

Обычно объем жидкостей измеряют в литрах или кубических метрах. Зная, что $1 \text{ литр} = 1000 \text{ см}^3$ и $1 \text{ м}^3 = 1\,000\,000 \text{ см}^3$, переведем объем в эти единицы:
$V_{общ} \approx \frac{8\,377\,580}{1000} \text{ л} \approx 8378 \text{ л}$.
$V_{общ} \approx \frac{8\,377\,580}{1\,000\,000} \text{ м}^3 \approx 8,38 \text{ м}^3$.

Ответ: Вместимость котла составляет $\frac{8\,000\,000}{3} \pi \text{ см}^3$, что приблизительно равно $8,38 \text{ м}^3$ или $8378$ литров.