Номер 643, страница 188 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

643*. Поверхность шара равна $100\pi \text{ см}^2$. Найдите объемы сегментов, на которые плоскость, перпендикулярная диаметру, делит шар, учитывая, что площадь сечения шара этой плоскостью равна $16\pi \text{ см}^2$.

Для решения задачи необходимо последовательно найти радиус шара, расстояние от центра шара до секущей плоскости и высоты образовавшихся сегментов. После этого можно будет вычислить их объемы.

1. Нахождение радиуса шара $R$
Площадь поверхности шара вычисляется по формуле $S = 4\pi R^2$. По условию, площадь поверхности равна $100\pi \text{ см}^2$. Найдем радиус $R$:
$4\pi R^2 = 100\pi$
$R^2 = \frac{100\pi}{4\pi} = 25$
$R = \sqrt{25} = 5 \text{ см}$.

2. Нахождение радиуса сечения $r$
Сечение шара плоскостью представляет собой круг. Площадь этого круга, по условию, равна $16\pi \text{ см}^2$. Формула площади круга: $S_{сеч} = \pi r^2$. Найдем радиус сечения $r$:
$\pi r^2 = 16\pi$
$r^2 = 16$
$r = \sqrt{16} = 4 \text{ см}$.

3. Нахождение расстояния $d$ от центра шара до секущей плоскости
Радиус шара $R$, радиус сечения $r$ и расстояние $d$ от центра шара до плоскости сечения связаны теоремой Пифагора: $R^2 = r^2 + d^2$. Подставим известные значения:
$5^2 = 4^2 + d^2$
$25 = 16 + d^2$
$d^2 = 25 - 16 = 9$
$d = \sqrt{9} = 3 \text{ см}$.

4. Нахождение высот сегментов $h_1$ и $h_2$
Секущая плоскость делит шар на два сегмента. Высота меньшего сегмента равна $h_1 = R - d$, а высота большего сегмента — $h_2 = R + d$.
Высота меньшего сегмента: $h_1 = 5 - 3 = 2 \text{ см}$.
Высота большего сегмента: $h_2 = 5 + 3 = 8 \text{ см}$.
Сумма высот $h_1 + h_2 = 2 + 8 = 10 \text{ см}$, что равно диаметру шара ($2R = 10 \text{ см}$), значит, высоты найдены верно.

5. Вычисление объемов сегментов $V_1$ и $V_2$
Объем шарового сегмента вычисляется по формуле $V = \pi h^2 (R - \frac{h}{3})$.
Вычислим объем меньшего сегмента ($V_1$):
$V_1 = \pi h_1^2 (R - \frac{h_1}{3}) = \pi \cdot 2^2 (5 - \frac{2}{3}) = 4\pi (\frac{15 - 2}{3}) = 4\pi \cdot \frac{13}{3} = \frac{52\pi}{3} \text{ см}^3$.
Вычислим объем большего сегмента ($V_2$):
$V_2 = \pi h_2^2 (R - \frac{h_2}{3}) = \pi \cdot 8^2 (5 - \frac{8}{3}) = 64\pi (\frac{15 - 8}{3}) = 64\pi \cdot \frac{7}{3} = \frac{448\pi}{3} \text{ см}^3$.
Для проверки можно сложить объемы сегментов: $V_1 + V_2 = \frac{52\pi}{3} + \frac{448\pi}{3} = \frac{500\pi}{3} \text{ см}^3$. Это совпадает с объемом всего шара $V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 5^3 = \frac{500\pi}{3} \text{ см}^3$.

Ответ: объемы сегментов равны $\frac{52\pi}{3} \text{ см}^3$ и $\frac{448\pi}{3} \text{ см}^3$.