Номер 637, страница 187 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

637. Найдите массу полого железного шара, учитывая, что плотность железа равна $7{,}9 \text{ г/см}^3$, а:

а) внутренний и внешний диаметры соответственно равны 35 мм и 50 мм;

б) радиусы внутренней и внешней поверхностей равны 50 мм и 100 мм.

Для нахождения массы полого железного шара необходимо знать его объем и плотность материала. Масса вычисляется по формуле:

$m = \rho \cdot V$

где $m$ – масса, $\rho$ – плотность, $V$ – объем.

Плотность железа дана в условии: $\rho = 7,9 \text{ г/см}^3$.

Объем материала полого шара — это разность объемов внешнего и внутреннего шаров:

$V = V_{внеш} - V_{внутр} = \frac{4}{3}\pi R^3 - \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi(R^3 - r^3)$

где $R$ – внешний радиус, а $r$ – внутренний радиус.

Приступим к решению для каждого случая.

а) внутренний и внешний диаметры соответственно равны 35 мм и 50 мм;

1. Сначала переведем данные в сантиметры, чтобы они соответствовали единицам измерения плотности ($1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$). Затем найдем радиусы.

Внешний диаметр $D = 50 \text{ мм} = 5,0 \text{ см}$.
Внешний радиус $R = \frac{D}{2} = \frac{5,0 \text{ см}}{2} = 2,5 \text{ см}$.

Внутренний диаметр $d = 35 \text{ мм} = 3,5 \text{ см}$.
Внутренний радиус $r = \frac{d}{2} = \frac{3,5 \text{ см}}{2} = 1,75 \text{ см}$.

2. Теперь вычислим объем железа в шаре:

$V = \frac{4}{3}\pi(R^3 - r^3) = \frac{4}{3}\pi((2,5)^3 - (1,75)^3) \text{ см}^3$

$V = \frac{4}{3}\pi(15,625 - 5,359375) \text{ см}^3 = \frac{4}{3}\pi(10,265625) \text{ см}^3$

Используя значение $\pi \approx 3,14159$, получаем:

$V \approx \frac{4}{3} \cdot 3,14159 \cdot 10,265625 \approx 42,999 \text{ см}^3$

3. Наконец, найдем массу шара:

$m = \rho \cdot V \approx 7,9 \text{ г/см}^3 \cdot 42,999 \text{ см}^3 \approx 339,69 \text{ г}$.

Округляя до одного знака после запятой, получаем 339,7 г.

Ответ: $m \approx 339,7$ г.

б) радиусы внутренней и внешней поверхностей равны 50 мм и 100 мм.

1. Переведем радиусы из миллиметров в сантиметры:

Внешний радиус $R = 100 \text{ мм} = 10 \text{ см}$.

Внутренний радиус $r = 50 \text{ мм} = 5 \text{ см}$.

2. Вычислим объем железа в шаре:

$V = \frac{4}{3}\pi(R^3 - r^3) = \frac{4}{3}\pi((10)^3 - (5)^3) \text{ см}^3$

$V = \frac{4}{3}\pi(1000 - 125) \text{ см}^3 = \frac{4}{3}\pi(875) \text{ см}^3$

Используя значение $\pi \approx 3,14159$, получаем:

$V = \frac{3500}{3}\pi \approx 3665,19 \text{ см}^3$

3. Найдем массу шара:

$m = \rho \cdot V \approx 7,9 \text{ г/см}^3 \cdot 3665,19 \text{ см}^3 \approx 28955 \text{ г}$.

Так как масса получилась большой, переведем ее в килограммы ($1 \text{ кг} = 1000 \text{ г}$):

$m \approx \frac{28955}{1000} \text{ кг} = 28,955 \text{ кг}$.

Округляя до одного знака после запятой, получаем 29,0 кг.

Ответ: $m \approx 29,0$ кг.