Номер 630, страница 187 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

630. Найдите объем шара, учитывая, что он:

а) описан около правильной треугольной пирамиды, сторона основания которой равна 24 см, а боковое ребро — 16 см;

б) вписан в правильную треугольную пирамиду, сторона основания которой равна $a$, а двугранный угол при основании — $\alpha$.

а) Объем шара вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi R^3$, где $R$ — радиус шара. В данном случае шар описан около правильной треугольной пирамиды, поэтому все вершины пирамиды лежат на поверхности шара. Задача состоит в том, чтобы найти радиус $R$ этого шара.

1. Сначала найдем радиус окружности ($R_{осн}$), описанной около основания пирамиды. Основание — это правильный треугольник со стороной $a = 24$ см. Радиус описанной окружности для правильного треугольника вычисляется по формуле: $R_{осн} = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{24}{\sqrt{3}} = \frac{24\sqrt{3}}{3} = 8\sqrt{3}$ см.

2. Теперь найдем высоту пирамиды ($H$). Высота $H$, боковое ребро $l=16$ см и радиус описанной окружности основания $R_{осн}$ образуют прямоугольный треугольник, в котором боковое ребро является гипотенузой. $H^2 = l^2 - R_{осн}^2 = 16^2 - (8\sqrt{3})^2 = 256 - 64 \cdot 3 = 256 - 192 = 64$ см$^2$. Следовательно, высота $H = \sqrt{64} = 8$ см.

3. Центр описанного шара лежит на высоте пирамиды. Радиус $R$ шара, описанного около пирамиды, у которой основание можно вписать в окружность, находится по формуле $R = \frac{l^2}{2H}$, где $l$ — боковое ребро. $R = \frac{16^2}{2 \cdot 8} = \frac{256}{16} = 16$ см.

4. Наконец, вычислим объем шара: $V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi (16)^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 4096 = \frac{16384\pi}{3}$ см$^3$.

Ответ: $\frac{16384\pi}{3}$ см$^3$.

б) Объем шара вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi r^3$, где $r$ — радиус вписанного шара. Шар вписан в правильную треугольную пирамиду, а значит, он касается плоскости основания и всех боковых граней. Задача состоит в том, чтобы найти радиус $r$.

1. Центр вписанного шара лежит на высоте пирамиды. Рассмотрим осевое сечение пирамиды, проходящее через ее высоту и апофему боковой грани. В этом сечении образуется прямоугольный треугольник. Его катеты — это высота пирамиды $H$ и радиус вписанной в основание окружности ($r_{осн}$), а гипотенуза — апофема пирамиды. Двугранный угол при основании, равный по условию $\alpha$, является углом между апофемой и радиусом $r_{осн}$ в этом сечении.

2. Найдем радиус окружности, вписанной в основание ($r_{осн}$). Для правильного треугольника со стороной $a$ он равен: $r_{осн} = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.

3. Центр вписанного шара $O_{шара}$ лежит на высоте пирамиды. Расстояние от центра шара до плоскости основания равно радиусу $r$. Расстояние от центра шара до боковой грани также равно $r$. Это означает, что центр вписанного шара равноудален от сторон двугранного угла, а значит, лежит на его биссектрисе. В рассматриваемом нами сечении, в прямоугольном треугольнике с катетами $r$ и $r_{осн}$, угол, противолежащий катету $r$, равен $\frac{\alpha}{2}$. Следовательно, мы можем записать соотношение: $\tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{r}{r_{осн}}$. Отсюда выражаем радиус вписанного шара $r$: $r = r_{осн} \cdot \tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{a\sqrt{3}}{6}\tan(\frac{\alpha}{2})$.

4. Теперь вычислим объем шара: $V = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{a\sqrt{3}}{6}\tan(\frac{\alpha}{2})\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \frac{a^3 (\sqrt{3})^3}{6^3}\tan^3(\frac{\alpha}{2})$. $V = \frac{4}{3}\pi \frac{3\sqrt{3} a^3}{216}\tan^3(\frac{\alpha}{2}) = \frac{4\pi \sqrt{3} a^3}{216}\tan^3(\frac{\alpha}{2}) = \frac{\pi a^3 \sqrt{3}}{54}\tan^3(\frac{\alpha}{2})$.

Ответ: $\frac{\pi a^3 \sqrt{3}}{54}\tan^3(\frac{\alpha}{2})$.