Номер 628, страница 186 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

628. Найдите объем шара, учитывая, что:

а) его диаметр равен $D$;

б) объем его части, заключенной между касательной плоскости шара и плоскостью, параллельной ей и отстоящей на 3 см, равен $72\pi$ см$^3$;

в) он описан около прямой призмы с объемом 24 см$^3$, основанием которой является прямоугольный треугольник, а катеты основания и боковое ребро относятся как $1 : 2 : 3$.

а) Объем шара $V$ вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi R^3$, где $R$ - радиус шара. Диаметр шара $D$ связан с радиусом соотношением $D = 2R$, откуда радиус можно выразить как $R = \frac{D}{2}$. Подставим это выражение в формулу для объема:

$V = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{D}{2}\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \frac{D^3}{2^3} = \frac{4}{3}\pi \frac{D^3}{8} = \frac{4\pi D^3}{24} = \frac{\pi D^3}{6}$.

Ответ: $V = \frac{\pi D^3}{6}$.

б) Часть шара, заключенная между касательной плоскостью и параллельной ей секущей плоскостью, является шаровым сегментом. Объем шарового сегмента $V_{сегм}$ находится по формуле $V_{сегм} = \pi h^2 (R - \frac{h}{3})$, где $h$ - высота сегмента, а $R$ - радиус шара. Из условия задачи известно, что высота сегмента $h$ (расстояние между плоскостями) равна 3 см, а его объем $V_{сегм} = 72\pi$ см³.

Подставим известные значения в формулу, чтобы найти радиус шара $R$:

$72\pi = \pi \cdot 3^2 \left(R - \frac{3}{3}\right)$

$72\pi = 9\pi (R - 1)$

Разделим обе части уравнения на $9\pi$:

$8 = R - 1$

$R = 9$ см.

Зная радиус шара, вычислим его полный объем $V$ по стандартной формуле $V = \frac{4}{3}\pi R^3$:

$V = \frac{4}{3}\pi \cdot 9^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 729 = 4\pi \cdot 243 = 972\pi$ см³.

Ответ: $V = 972\pi$ см³.

в) Пусть катеты основания прямой призмы равны $a$ и $b$, а ее боковое ребро (высота) равно $H$. По условию, их отношение $a:b:H = 1:2:3$. Введем коэффициент пропорциональности $x$, тогда размеры призмы можно выразить как $a=x$, $b=2x$, и $H=3x$.

Объем призмы $V_{призмы}$ равен произведению площади основания $S_{осн}$ на высоту $H$. Так как основание — это прямоугольный треугольник, его площадь равна $S_{осн} = \frac{1}{2}ab$.

Объем призмы: $V_{призмы} = S_{осн} \cdot H = \left(\frac{1}{2}ab\right)H$.

Подставим выражения через $x$ и данный объем $V_{призмы} = 24$ см³:

$24 = \frac{1}{2}(x)(2x)(3x) = 3x^3$.

Отсюда находим $x$:

$x^3 = \frac{24}{3} = 8$, следовательно, $x=2$ см.

Теперь можно найти фактические размеры призмы: катеты $a = 2$ см, $b = 4$ см, и высота $H = 6$ см.

Шар описан около прямой призмы, что означает, что все вершины призмы лежат на поверхности шара. Диаметр $D$ такого шара равен диагонали призмы. Для прямой призмы с прямоугольным треугольником в основании квадрат диагонали $D^2$ равен сумме квадратов трех ее измерений (двух катетов и высоты):

$D^2 = a^2 + b^2 + H^2$.

Подставим найденные значения:

$D^2 = 2^2 + 4^2 + 6^2 = 4 + 16 + 36 = 56$.

Радиус шара $R$ связан с диаметром как $R = \frac{D}{2}$, тогда квадрат радиуса $R^2 = \frac{D^2}{4} = \frac{56}{4} = 14$. Отсюда радиус $R = \sqrt{14}$ см.

Наконец, находим объем шара по формуле $V = \frac{4}{3}\pi R^3$:

$V = \frac{4}{3}\pi (\sqrt{14})^3 = \frac{4}{3}\pi (14\sqrt{14}) = \frac{56\pi\sqrt{14}}{3}$ см³.

Ответ: $V = \frac{56\pi\sqrt{14}}{3}$ см³.