Номер 623, страница 186 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

623. Найдите объем конуса, в который вписан шар с радиусом $r$, учитывая, что:

а) образующая конуса равна диаметру его основания;

б) это конус наименьшего объема;

в) угол наклона боковой грани к плоскости основания равен $\alpha$.

Обозначим радиус основания конуса через $R$, высоту — через $H$, а образующую — через $L$. Объем конуса вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}\pi R^2 H$. Радиус вписанного шара равен $r$.

Рассмотрим осевое сечение конуса. Это равнобедренный треугольник с основанием $2R$ и высотой $H$. Сечение вписанного шара является вписанной в этот треугольник окружностью радиуса $r$. Пусть $\alpha$ — угол наклона образующей к плоскости основания. В осевом сечении это угол при основании равнобедренного треугольника.

Из геометрии сечения можно установить связь между параметрами конуса и радиусом вписанного шара. Центр вписанной окружности (шара) является точкой пересечения биссектрис углов треугольника. Рассматривая прямоугольный треугольник, образованный радиусом основания $R$, радиусом вписанного шара $r$ и отрезком, соединяющим центр основания с центром шара, мы получаем, что биссектриса угла $\alpha$ делит его пополам. Отсюда имеем соотношение:

$\tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{r}{R}$

Из этого соотношения можно выразить радиус основания конуса $R$:

$R = \frac{r}{\tan(\alpha/2)} = r \cot(\frac{\alpha}{2})$

Высота конуса $H$ связана с радиусом основания $R$ и углом $\alpha$ соотношением $H = R \tan \alpha$. Подставив выражение для $R$, получим:

$H = r \cot(\frac{\alpha}{2}) \tan \alpha$

Эти общие соотношения будут использованы для решения всех пунктов задачи.

а) образующая конуса равна диаметру его основания;

По условию, образующая $L$ равна диаметру основания, то есть $L = 2R$. Из прямоугольного треугольника, образованного высотой $H$, радиусом $R$ и образующей $L$, по теореме Пифагора имеем $L^2 = H^2 + R^2$.

Подставим условие $L=2R$:

$(2R)^2 = H^2 + R^2$

$4R^2 = H^2 + R^2$

$H^2 = 3R^2 \implies H = R\sqrt{3}$

С другой стороны, $H = R \tan \alpha$. Следовательно, $\tan \alpha = \sqrt{3}$. Это означает, что угол $\alpha = 60^\circ$ или $\pi/3$ радиан.

Теперь, зная угол $\alpha$, мы можем найти размеры конуса через $r$, используя общие формулы:

$R = r \cot(\frac{\alpha}{2}) = r \cot(30^\circ) = r\sqrt{3}$

$H = R\sqrt{3} = (r\sqrt{3})\sqrt{3} = 3r$

Теперь вычислим объем конуса:

$V = \frac{1}{3}\pi R^2 H = \frac{1}{3}\pi (r\sqrt{3})^2 (3r) = \frac{1}{3}\pi (3r^2)(3r) = 3\pi r^3$

Ответ: $V = 3\pi r^3$.

б) это конус наименьшего объема;

Чтобы найти конус наименьшего объема, нам нужно выразить объем $V$ как функцию одной переменной и найти ее минимум. Удобно выразить объем через высоту $H$. Установим связь между $R^2$ и $H$.

Из соотношений $H = \frac{2r}{1-\tan^2(\alpha/2)}$ и $R = r \cot(\alpha/2)$ следует, что $R^2 = r^2 \cot^2(\alpha/2) = \frac{r^2}{\tan^2(\alpha/2)}$. Из первого уравнения $1-\tan^2(\alpha/2)=\frac{2r}{H}$, значит $\tan^2(\alpha/2)=1-\frac{2r}{H}=\frac{H-2r}{H}$. Тогда $R^2 = \frac{r^2}{(H-2r)/H} = \frac{r^2 H}{H-2r}$. Заметим, что для существования вписанного шара высота конуса должна быть больше диаметра шара, т.е. $H > 2r$.

Подставим это выражение для $R^2$ в формулу объема:

$V(H) = \frac{1}{3}\pi R^2 H = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{r^2 H}{H-2r}\right) H = \frac{\pi r^2}{3} \frac{H^2}{H-2r}$

Для нахождения минимума найдем производную $V(H)$ по $H$ и приравняем ее к нулю:

$\frac{dV}{dH} = \frac{\pi r^2}{3} \frac{d}{dH}\left(\frac{H^2}{H-2r}\right) = \frac{\pi r^2}{3} \frac{2H(H-2r) - H^2(1)}{(H-2r)^2} = \frac{\pi r^2}{3} \frac{2H^2 - 4Hr - H^2}{(H-2r)^2} = \frac{\pi r^2}{3} \frac{H(H-4r)}{(H-2r)^2}$

Приравнивая производную к нулю, получаем $H(H-4r)=0$. Так как $H>2r$, единственное решение — $H=4r$.

Анализ знака производной показывает, что при $2r < H < 4r$ производная отрицательна (функция убывает), а при $H > 4r$ — положительна (функция возрастает). Следовательно, при $H=4r$ достигается минимум объема.

Найдем соответствующий радиус основания $R$:

$R^2 = \frac{r^2 H}{H-2r} = \frac{r^2 (4r)}{4r-2r} = \frac{4r^3}{2r} = 2r^2 \implies R = r\sqrt{2}$

Теперь вычислим минимальный объем:

$V_{min} = \frac{1}{3}\pi R^2 H = \frac{1}{3}\pi (2r^2)(4r) = \frac{8}{3}\pi r^3$

Ответ: $V = \frac{8}{3}\pi r^3$.

в) угол наклона боковой грани к плоскости основания равен α.

В этом случае угол $\alpha$ задан. Мы можем напрямую использовать общие формулы, выведенные в начале, для выражения объема через $r$ и $\alpha$.

Радиус основания конуса:

$R = r \cot(\frac{\alpha}{2})$

Высота конуса:

$H = R \tan \alpha = r \cot(\frac{\alpha}{2}) \tan \alpha$

Подставляем эти выражения в формулу для объема:

$V = \frac{1}{3}\pi R^2 H = \frac{1}{3}\pi \left(r \cot(\frac{\alpha}{2})\right)^2 \left(r \cot(\frac{\alpha}{2}) \tan \alpha\right) = \frac{1}{3}\pi r^3 \cot^3(\frac{\alpha}{2}) \tan \alpha$

Это уже является ответом, но его можно преобразовать к более удобному виду, используя формулы тригонометрии. Используем формулы универсальной тригонометрической подстановки, выражая все через $\cos \alpha$:

$\cot^2(\frac{\alpha}{2}) = \frac{1+\cos\alpha}{1-\cos\alpha}$ и $\tan \alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$.

$\cot(\frac{\alpha}{2}) = \frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}$

$V = \frac{1}{3}\pi r^3 \left(\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}\right)^3 \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{1}{3}\pi r^3 \frac{(1+\cos\alpha)^3}{\sin^3\alpha} \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{1}{3}\pi r^3 \frac{(1+\cos\alpha)^3}{\sin^2\alpha \cos\alpha}$

Заменяя $\sin^2\alpha = 1-\cos^2\alpha = (1-\cos\alpha)(1+\cos\alpha)$, получаем:

$V = \frac{1}{3}\pi r^3 \frac{(1+\cos\alpha)^3}{(1-\cos\alpha)(1+\cos\alpha) \cos\alpha} = \frac{1}{3}\pi r^3 \frac{(1+\cos\alpha)^2}{(1-\cos\alpha)\cos\alpha}$

Ответ: $V = \frac{\pi r^3}{3} \frac{(1+\cos\alpha)^2}{(1-\cos\alpha)\cos\alpha}$.