Номер 618, страница 185 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

618. Найдите объем конуса, учитывая, что:

а) в него вписана пирамида, основанием которой является прямоугольник, у которого меньшая сторона равна $a$ и острый угол между диагоналями — $\alpha$, а боковая грань, содержащая меньшую сторону основания, составляет с плоскостью основания угол $\beta$;

б) он вписан в пирамиду, основанием которой является ромб со стороной $a$ и острым углом $\varphi$, а образующая конуса составляет с плоскостью основания угол $\theta$.

а)

Объем конуса вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} \pi R^2 H$, где $R$ — радиус основания, а $H$ — высота конуса.

В данном случае в конус вписана пирамида, основанием которой является прямоугольник. Это означает, что основание конуса (окружность) описано вокруг основания пирамиды (прямоугольника). Вершина пирамиды совпадает с вершиной конуса.

1. Найдем радиус основания конуса $R$.

Радиус окружности, описанной вокруг прямоугольника, равен половине его диагонали $d$. Таким образом, $R = \frac{d}{2}$.

Найдем диагональ прямоугольника. Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$, где $a$ — меньшая сторона. Диагонали прямоугольника равны и, пересекаясь, делятся пополам. Рассмотрим равнобедренный треугольник, образованный меньшей стороной $a$ и двумя половинами диагоналей $(\frac{d}{2})$. Угол при вершине этого треугольника (между половинами диагоналей) — это острый угол между диагоналями $\alpha$.

Проведем в этом треугольнике высоту к основанию $a$. Она разделит его на два равных прямоугольных треугольника с катетами $\frac{a}{2}$ и гипотенузой $\frac{d}{2}$. Угол при вершине разделится пополам, то есть станет $\frac{\alpha}{2}$. Из такого прямоугольного треугольника имеем:

$\sin(\frac{\alpha}{2}) = \frac{a/2}{d/2} = \frac{a}{d}$

Отсюда диагональ $d = \frac{a}{\sin(\frac{\alpha}{2})}$.

Тогда радиус основания конуса равен:

$R = \frac{d}{2} = \frac{a}{2 \sin(\frac{\alpha}{2})}$.

2. Найдем высоту конуса $H$.

Высота конуса $H$ совпадает с высотой пирамиды. Пусть $S$ — вершина конуса и пирамиды, $O$ — центр основания (точка пересечения диагоналей прямоугольника). Тогда $H = SO$.

Боковая грань, содержащая меньшую сторону $a$, составляет с плоскостью основания угол $\beta$. Пусть эта грань $SAB$, где $AB=a$. Угол между плоскостью грани $SAB$ и плоскостью основания — это двугранный угол. Его линейной мерой является угол $SMO$, где $M$ — середина стороны $AB$. $OM$ перпендикулярно $AB$ (как расстояние от центра прямоугольника до стороны), $SM$ — апофема грани $SAB$. Таким образом, $\angle SMO = \beta$.

В прямоугольном треугольнике $SOM$ ( $\angle SOM = 90^\circ$):

$H = SO = OM \cdot \tan(\beta)$.

Длина $OM$ равна половине второй стороны прямоугольника, $b$. То есть $OM = \frac{b}{2}$. Найдем $b$.

В прямоугольнике стороны и диагональ связаны соотношением $a^2 + b^2 = d^2$.

$b^2 = d^2 - a^2 = \left(\frac{a}{\sin(\frac{\alpha}{2})}\right)^2 - a^2 = a^2 \left( \frac{1}{\sin^2(\frac{\alpha}{2})} - 1 \right) = a^2 \frac{1 - \sin^2(\frac{\alpha}{2})}{\sin^2(\frac{\alpha}{2})} = a^2 \frac{\cos^2(\frac{\alpha}{2})}{\sin^2(\frac{\alpha}{2})} = a^2 \cot^2(\frac{\alpha}{2})$.

Отсюда $b = a \cot(\frac{\alpha}{2})$.

Тогда $OM = \frac{a \cot(\frac{\alpha}{2})}{2}$.

И высота конуса:

$H = \frac{a \cot(\frac{\alpha}{2})}{2} \cdot \tan(\beta) = \frac{a \cot(\frac{\alpha}{2}) \tan(\beta)}{2}$.

3. Вычислим объем конуса.

$V = \frac{1}{3} \pi R^2 H = \frac{1}{3} \pi \left( \frac{a}{2 \sin(\frac{\alpha}{2})} \right)^2 \left( \frac{a \cot(\frac{\alpha}{2}) \tan(\beta)}{2} \right)$

$V = \frac{1}{3} \pi \frac{a^2}{4 \sin^2(\frac{\alpha}{2})} \cdot \frac{a \cot(\frac{\alpha}{2}) \tan(\beta)}{2} = \frac{\pi a^3 \cot(\frac{\alpha}{2}) \tan(\beta)}{24 \sin^2(\frac{\alpha}{2})}$.

Используя $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$, можно записать:

$V = \frac{\pi a^3 \tan(\beta) \cos(\frac{\alpha}{2})}{24 \sin^3(\frac{\alpha}{2})}$.

Ответ: $V = \frac{\pi a^3 \cot(\frac{\alpha}{2}) \tan(\beta)}{24 \sin^2(\frac{\alpha}{2})}$.

б)

Объем конуса вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} \pi R^2 H$, где $R$ — радиус основания, а $H$ — высота конуса.

В данном случае конус вписан в пирамиду, основанием которой является ромб. Это означает, что основание конуса (окружность) вписано в основание пирамиды (ромб). Вершина конуса совпадает с вершиной пирамиды.

1. Найдем радиус основания конуса $R$.

Радиус окружности, вписанной в ромб, равен половине высоты ромба $h_{ромб}$. Таким образом, $R = \frac{h_{ромб}}{2}$.

Площадь ромба со стороной $a$ и острым углом $\phi$ равна $S = a^2 \sin(\phi)$. С другой стороны, площадь ромба равна произведению стороны на высоту, $S = a \cdot h_{ромб}$.

Приравнивая выражения для площади, получаем: $a \cdot h_{ромб} = a^2 \sin(\phi)$, откуда $h_{ромб} = a \sin(\phi)$.

Тогда радиус основания конуса:

$R = \frac{a \sin(\phi)}{2}$.

2. Найдем высоту конуса $H$.

Высота конуса $H$ совпадает с высотой пирамиды. Пусть $S$ — вершина конуса, $O$ — центр его основания. $H = SO$.

Образующая конуса составляет с плоскостью основания угол $\theta$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса $H$, радиусом основания $R$ и образующей $L$. Угол между образующей $L$ и ее проекцией на плоскость основания (радиусом $R$) и есть угол $\theta$.

Из этого прямоугольного треугольника ($\angle SOR=90^\circ$):

$\tan(\theta) = \frac{H}{R}$.

Отсюда высота $H = R \cdot \tan(\theta)$.

Подставляя найденное значение $R$, получаем:

$H = \frac{a \sin(\phi)}{2} \tan(\theta)$.

3. Вычислим объем конуса.

$V = \frac{1}{3} \pi R^2 H = \frac{1}{3} \pi \left( \frac{a \sin(\phi)}{2} \right)^2 \left( \frac{a \sin(\phi) \tan(\theta)}{2} \right)$

$V = \frac{1}{3} \pi \frac{a^2 \sin^2(\phi)}{4} \cdot \frac{a \sin(\phi) \tan(\theta)}{2} = \frac{\pi a^3 \sin^3(\phi) \tan(\theta)}{24}$.

Ответ: $V = \frac{\pi a^3 \sin^3(\phi) \tan(\theta)}{24}$.