Номер 620, страница 186 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

620. Радиус конуса равен $r$, а образующая составляет с основанием угол $\alpha$. Найдите объем правильной треугольной пирамиды, вписанной в конус.

Для нахождения объема правильной треугольной пирамиды, вписанной в конус, воспользуемся формулой объема пирамиды:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$

где $S_{осн}$ — это площадь основания пирамиды, а $H$ — ее высота.

Так как пирамида вписана в конус, ее вершина совпадает с вершиной конуса, а основание (правильный треугольник) вписано в основание конуса (окружность). Это означает, что высота пирамиды равна высоте конуса $H$, а радиус основания конуса $r$ является радиусом окружности, описанной около треугольного основания пирамиды.

1. Определение высоты H

Высота конуса $H$, его радиус $r$ и образующая $l$ образуют прямоугольный треугольник. По условию, угол между образующей и основанием равен $\alpha$. В этом прямоугольном треугольнике $H$ является катетом, противолежащим углу $\alpha$, а $r$ — прилежащим катетом. Таким образом, мы можем использовать тангенс угла $\alpha$:

$\tan(\alpha) = \frac{H}{r}$

Из этого соотношения выразим высоту $H$:

$H = r \cdot \tan(\alpha)$

2. Определение площади основания $S_{осн}$

Основанием пирамиды является правильный (равносторонний) треугольник, вписанный в окружность радиусом $r$. Сторона равностороннего треугольника $a$ связана с радиусом описанной около него окружности $R$ (в нашем случае $R=r$) формулой:

$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Отсюда можем выразить сторону треугольника $a$:

$a = R \sqrt{3} = r \sqrt{3}$

Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:

$S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

Подставим в эту формулу найденное выражение для стороны $a$:

$S_{осн} = \frac{(r \sqrt{3})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{r^2 \cdot 3 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{3 \sqrt{3}}{4} r^2$

3. Вычисление объема пирамиды V

Теперь, имея выражения для высоты $H$ и площади основания $S_{осн}$, мы можем вычислить объем пирамиды:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{3 \sqrt{3}}{4} r^2 \right) \cdot (r \tan(\alpha))$

Сокращаем множитель 3 в числителе и знаменателе:

$V = \frac{\sqrt{3}}{4} r^2 \cdot r \tan(\alpha)$

Объединяем множители с $r$:

$V = \frac{\sqrt{3}}{4} r^3 \tan(\alpha)$

Ответ: $V = \frac{\sqrt{3}}{4} r^3 \tan(\alpha)$