Номер 622, страница 186 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

622. Найдите объем конуса, учитывая, что радиус его основания равен 18 дм, а радиус вписанного в конус шара равен 9 дм.

Для нахождения объема конуса используется формула $V = \frac{1}{3} \pi R^2 H$, где $R$ — радиус основания, а $H$ — высота конуса.

По условию задачи, радиус основания конуса $R = 18$ дм, а радиус вписанного в него шара $r = 9$ дм. Для вычисления объема нам необходимо найти высоту конуса $H$.

Рассмотрим осевое сечение конуса. Оно представляет собой равнобедренный треугольник, в который вписана окружность. Высота этого треугольника является высотой конуса $H$, а половина его основания — радиусом основания конуса $R$. Вписанная окружность является сечением вписанного шара, и ее радиус равен радиусу шара $r$.

В осевом сечении можно выделить два подобных прямоугольных треугольника. Один треугольник образован высотой конуса $H$, радиусом основания $R$ и образующей конуса $L$. Второй — радиусом вписанного шара $r$, частью образующей и отрезком, соединяющим вершину конуса с центром шара. Они подобны по общему острому углу и прямому углу.

Из подобия этих треугольников следует соотношение их сторон:

$\frac{R}{r} = \frac{L}{H-r}$

где $L$ — длина образующей конуса. По теореме Пифагора, $L = \sqrt{H^2 + R^2}$.

Подставим известные значения в соотношение:

$R = 18$ дм
$r = 9$ дм
$L = \sqrt{H^2 + 18^2} = \sqrt{H^2 + 324}$

$\frac{18}{9} = \frac{\sqrt{H^2 + 324}}{H-9}$

$2 = \frac{\sqrt{H^2 + 324}}{H-9}$

Теперь решим это уравнение относительно $H$:

$2(H - 9) = \sqrt{H^2 + 324}$

Возведем обе части уравнения в квадрат (при условии $H-9 > 0$, что выполняется, так как высота конуса должна быть больше диаметра вписанного шара):

$4(H - 9)^2 = H^2 + 324$
$4(H^2 - 18H + 81) = H^2 + 324$
$4H^2 - 72H + 324 = H^2 + 324$
$3H^2 - 72H = 0$
$3H(H - 24) = 0$

Так как высота $H$ не может быть равна нулю, единственным решением является $H = 24$ дм.

Теперь, зная высоту, мы можем вычислить объем конуса:

$V = \frac{1}{3} \pi R^2 H = \frac{1}{3} \pi \cdot 18^2 \cdot 24$
$V = \frac{1}{3} \pi \cdot 324 \cdot 24$
$V = \pi \cdot 324 \cdot 8$
$V = 2592\pi$ дм$^3$.

Ответ: $2592\pi$ дм$^3$.