Номер 617, страница 185 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

617. Найдите объем правильной шестиугольной пирамиды, учитывая, что:

а) радиус шара, вписанного в нее, равен 10 см, а боковые грани наклонены к плоскости основания под углом в 60°;

б) ее высота равна $H$, а радиус описанного около нее шара — $R$.

Объем правильной пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота пирамиды.

В основании данной пирамиды лежит правильный шестиугольник. Площадь правильного шестиугольника со стороной $a$ равна $S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$.

а)

По условию, радиус вписанного в пирамиду шара $r = 10$ см, а боковые грани наклонены к плоскости основания под углом $\alpha = 60^\circ$.

Центр шара, вписанного в правильную пирамиду, лежит на ее высоте. Рассмотрим осевое сечение пирамиды, которое проходит через ее высоту $SO$ и апофему основания $OM$ (где $O$ — центр основания, $S$ — вершина пирамиды, $M$ — середина стороны основания). Это сечение также содержит апофему боковой грани $SM$. Угол $\angle SMO = \alpha = 60^\circ$ является линейным углом двугранного угла при ребре основания.

Центр вписанного шара $I$ является точкой пересечения высоты $SO$ и биссектрисы угла $\angle SMO$. Расстояние от центра вписанного шара до плоскости основания равно радиусу шара. Поскольку центр $I$ лежит на высоте $SO$, его расстояние до основания (с центром в точке $O$) равно длине отрезка $IO$. Таким образом, $IO = r = 10$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OIM$. Угол $\angle OMI$ равен половине двугранного угла при основании: $\angle OMI = \frac{\alpha}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$. Из этого треугольника находим апофему основания $OM$:
$\tan(\angle OMI) = \frac{IO}{OM} \Rightarrow \tan(30^\circ) = \frac{r}{OM}$
$OM = \frac{r}{\tan(30^\circ)} = \frac{10}{1/\sqrt{3}} = 10\sqrt{3}$ см.

Апофема правильного шестиугольника связана с его стороной $a$ соотношением $OM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Найдем сторону $a$:
$10\sqrt{3} = \frac{a\sqrt{3}}{2} \Rightarrow a = 20$ см.

Теперь можем вычислить площадь основания:
$S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2}(20)^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 400 = 600\sqrt{3}$ см$^2$.

Высоту пирамиды $h=SO$ найдем из прямоугольного треугольника $\triangle SOM$:
$h = SO = OM \cdot \tan(\angle SMO) = 10\sqrt{3} \cdot \tan(60^\circ) = 10\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 30$ см.

Наконец, вычисляем объем пирамиды:
$V = \frac{1}{3}S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 600\sqrt{3} \cdot 30 = 6000\sqrt{3}$ см$^3$.

Ответ: $6000\sqrt{3}$ см$^3$.

б)

По условию, высота пирамиды равна $H$, а радиус описанного около нее шара — $R$.

Центр описанного шара $O_c$ также лежит на высоте пирамиды $SO$. Описанный шар проходит через все вершины пирамиды. Это означает, что расстояние от центра шара $O_c$ до вершины пирамиды $S$ и до любой вершины основания (например, $A$) равно радиусу $R$: $O_cS = R$ и $O_cA = R$.

Рассмотрим осевое сечение пирамиды, проходящее через высоту $SO$ и главную диагональ основания $AD$. Это сечение представляет собой равнобедренный треугольник $\triangle SAD$. Окружность, описанная около этого треугольника, является большим кругом описанного шара, и ее радиус равен $R$.

Пусть сторона основания шестиугольника равна $a$. Тогда расстояние от центра основания $O$ до вершины $A$ равно $OA = a$. Высота пирамиды $SO = H$.

Для нахождения связи между $R, H$ и $a$ воспользуемся формулой для радиуса описанной окружности треугольника $\triangle SAD$:
$R = \frac{(\text{боковое ребро})^2 \cdot (\text{основание треугольника})}{4 \cdot (\text{площадь треугольника})}$

Найдем элементы треугольника $\triangle SAD$:

• Основание треугольника: $AD = 2 \cdot OA = 2a$.
• Боковое ребро: $SA = \sqrt{SO^2 + OA^2} = \sqrt{H^2 + a^2}$.
• Площадь треугольника: $S_{\triangle SAD} = \frac{1}{2} AD \cdot SO = \frac{1}{2} \cdot 2a \cdot H = aH$.

Подставим эти значения в формулу для радиуса $R$:
$R = \frac{(\sqrt{H^2+a^2})^2 \cdot 2a}{4 \cdot aH} = \frac{(H^2+a^2) \cdot 2a}{4aH} = \frac{H^2+a^2}{2H}$.

Из этого соотношения выразим $a^2$:
$2HR = H^2 + a^2$
$a^2 = 2HR - H^2 = H(2R-H)$.

Теперь находим площадь основания пирамиды:
$S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2}H(2R-H)$.

И, наконец, вычисляем объем пирамиды:
$V = \frac{1}{3}S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{3\sqrt{3}}{2}H(2R-H)\right) \cdot H = \frac{\sqrt{3}}{2}H^2(2R-H)$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}H^2(2R-H)$.