Номер 621, страница 186 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

621. Образующая конуса равна $l$ и составляет с основанием угол $\alpha$. В него вписана пирамида, основанием которой является прямоугольный треугольник с острым углом $\beta$. Найдите объем пирамиды.

Для нахождения объема пирамиды воспользуемся формулой $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — это площадь основания пирамиды, а $H$ — ее высота.

Поскольку пирамида вписана в конус, их вершины совпадают, а основание пирамиды (прямоугольный треугольник) вписано в основание конуса (окружность). Это означает, что высота пирамиды $H$ равна высоте конуса, а окружность основания конуса является описанной окружностью для треугольного основания пирамиды.

1. Найдем высоту $H$ и радиус основания $R$ конуса.Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса $H$, радиусом его основания $R$ и образующей $l$. В этом треугольнике $l$ является гипотенузой, а угол между образующей $l$ и основанием (радиусом $R$) равен $\alpha$. Из соотношений в прямоугольном треугольнике получаем:
Высота $H = l \cdot \sin\alpha$
Радиус $R = l \cdot \cos\alpha$

2. Найдем площадь основания пирамиды $S_{осн}$.Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник, вписанный в окружность радиусом $R = l \cos\alpha$. Для любого прямоугольного треугольника, вписанного в окружность, его гипотенуза является диаметром этой окружности. Обозначим гипотенузу треугольника буквой $c$.
$c = 2R = 2l \cos\alpha$.

Пусть катеты этого треугольника равны $a$ и $b$, а один из острых углов равен $\beta$. Тогда катеты можно выразить через гипотенузу $c$ и угол $\beta$:
$a = c \cdot \sin\beta = 2l \cos\alpha \sin\beta$
$b = c \cdot \cos\beta = 2l \cos\alpha \cos\beta$

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:
$S_{осн} = \frac{1}{2} a \cdot b = \frac{1}{2} (2l \cos\alpha \sin\beta) (2l \cos\alpha \cos\beta) = 2l^2 \cos^2\alpha \sin\beta \cos\beta$.
Используя тригонометрическую формулу синуса двойного угла $\sin(2\beta) = 2\sin\beta \cos\beta$, можем упростить выражение для площади:
$S_{осн} = l^2 \cos^2\alpha \cdot (2\sin\beta \cos\beta) = l^2 \cos^2\alpha \sin(2\beta)$.

3. Найдем объем пирамиды $V$.Подставим найденные выражения для высоты $H$ и площади основания $S_{осн}$ в формулу объема пирамиды:
$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} (l^2 \cos^2\alpha \sin(2\beta)) \cdot (l \sin\alpha)$.
$V = \frac{1}{3} l^3 \sin\alpha \cos^2\alpha \sin(2\beta)$.

Ответ: $V = \frac{1}{3} l^3 \sin\alpha \cos^2\alpha \sin(2\beta)$