Номер 614, страница 185 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

614. Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, учитывая, что она:

a) описана около шара с радиусом 3 см, а диагональ ее основания — $14\sqrt{2}$ см;

б) описана около шара с радиусом $r$, двугранный угол при ее основании равен $\alpha$;

в) вписана в шар с радиусом 4 см, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом в $30^\circ$.

а) Объем правильной четырехугольной пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.
Основание правильной четырехугольной пирамиды — квадрат. Сторону квадрата $a$ можно найти по его диагонали $d$.
Дано, что $d = 14\sqrt{2}$ см. Так как $d = a\sqrt{2}$, получаем $a = 14$ см.
Площадь основания: $S_{осн} = a^2 = 14^2 = 196$ см².
Для нахождения высоты $H$ используем тот факт, что в пирамиду вписан шар радиусом $r = 3$ см. Рассмотрим осевое сечение пирамиды, проходящее через апофемы противоположных граней. Это сечение представляет собой равнобедренный треугольник с основанием $a$ и высотой $H$. Вписанная в него окружность является большим кругом вписанного шара, и ее радиус равен $r$.
Пусть $\phi$ — двугранный угол при основании пирамиды. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой пирамиды $H$, апофемой и половиной стороны основания ($a/2$), тангенс угла $\phi$ равен $\tan(\phi) = \frac{H}{a/2}$.
Центр вписанного шара лежит на высоте пирамиды и является точкой пересечения биссектрис двугранных углов. Радиус вписанного шара связан с половиной стороны основания и половиной двугранного угла при основании соотношением: $\tan(\frac{\phi}{2}) = \frac{r}{a/2}$.
Используя формулу тангенса двойного угла $\tan(\phi) = \frac{2\tan(\phi/2)}{1 - \tan^2(\phi/2)}$, выразим $H$:
$\frac{H}{a/2} = \frac{2 \cdot (r / (a/2))}{1 - (r / (a/2))^2} = \frac{2r/(a/2)}{1 - r^2/(a/2)^2} = \frac{2r(a/2)}{(a/2)^2 - r^2}$.
$H = \frac{2r(a/2)^2}{(a/2)^2 - r^2}$.
Подставим известные значения: $a=14$ см (значит, $a/2 = 7$ см) и $r=3$ см.
$H = \frac{2 \cdot 3 \cdot 7^2}{7^2 - 3^2} = \frac{6 \cdot 49}{49 - 9} = \frac{294}{40} = \frac{147}{20} = 7.35$ см.
Теперь найдем объем пирамиды:
$V = \frac{1}{3} S_{осн} H = \frac{1}{3} \cdot 196 \cdot \frac{147}{20}$.
Поскольку $147 = 3 \cdot 49$:
$V = \frac{1}{3} \cdot 196 \cdot \frac{3 \cdot 49}{20} = \frac{196 \cdot 49}{20} = \frac{9604}{20} = 480.2$ см³.
Ответ: $480.2$ см³.

б) Используем зависимости, полученные в пункте а). Дано, что радиус вписанного шара равен $r$, а двугранный угол при основании равен $\alpha$.
Из прямоугольного треугольника, образованного половиной стороны основания $a/2$, радиусом вписанного шара $r$ и отрезком, соединяющим центр основания с вершиной этого треугольника, имеем:
$\tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{r}{a/2}$, откуда $a/2 = \frac{r}{\tan(\frac{\alpha}{2})} = r \cot(\frac{\alpha}{2})$.
Значит, сторона основания $a = 2r \cot(\frac{\alpha}{2})$.
Площадь основания: $S_{осн} = a^2 = (2r \cot(\frac{\alpha}{2}))^2 = 4r^2 \cot^2(\frac{\alpha}{2})$.
Из прямоугольного треугольника, образованного высотой $H$, апофемой и половиной стороны основания $a/2$, имеем:
$\tan(\alpha) = \frac{H}{a/2}$, откуда $H = (a/2)\tan(\alpha)$.
Подставим выражение для $a/2$:
$H = r \cot(\frac{\alpha}{2}) \tan(\alpha)$.
Теперь найдем объем пирамиды:
$V = \frac{1}{3} S_{осн} H = \frac{1}{3} (4r^2 \cot^2(\frac{\alpha}{2})) (r \cot(\frac{\alpha}{2}) \tan(\alpha)) = \frac{4}{3}r^3 \cot^3(\frac{\alpha}{2}) \tan(\alpha)$.
Ответ: $V = \frac{4}{3}r^3 \cot^3(\frac{\alpha}{2}) \tan(\alpha)$.

в) Дано, что пирамида вписана в шар радиусом $R=4$ см, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом $30^\circ$.
Пусть $H$ — высота пирамиды, $l$ — длина бокового ребра, $a$ — сторона основания, $d$ — диагональ основания.
Угол наклона бокового ребра к плоскости основания — это угол между ребром $l$ и его проекцией на основание, которая равна половине диагонали $d/2$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой $H$, боковым ребром $l$ и половиной диагонали основания $d/2$. По условию, угол между $l$ и $d/2$ равен $30^\circ$.
Отсюда имеем соотношения:
$H = l \sin(30^\circ) = l/2$.
$d/2 = l \cos(30^\circ) = l\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Для правильной пирамиды, вписанной в шар, радиус шара $R$, высота пирамиды $H$ и половина диагонали основания $d/2$ связаны формулой: $R = \frac{H^2 + (d/2)^2}{2H}$.
Подставим в эту формулу выражения для $H$ и $d/2$ через $l$:
$R = \frac{(l/2)^2 + (l\sqrt{3}/2)^2}{2(l/2)} = \frac{l^2/4 + 3l^2/4}{l} = \frac{l^2}{l} = l$.
Таким образом, длина бокового ребра равна радиусу описанного шара: $l=R=4$ см.
Теперь найдем размеры пирамиды:
Высота: $H = l/2 = 4/2 = 2$ см.
Половина диагонали: $d/2 = l\frac{\sqrt{3}}{2} = 4\frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ см.
Диагональ основания: $d = 4\sqrt{3}$ см.
Сторона основания: $a = d/\sqrt{2} = 4\sqrt{3}/\sqrt{2} = 2\sqrt{6}$ см.
Площадь основания: $S_{осн} = a^2 = (2\sqrt{6})^2 = 4 \cdot 6 = 24$ см².
Найдем объем пирамиды:
$V = \frac{1}{3}S_{осн}H = \frac{1}{3} \cdot 24 \cdot 2 = 8 \cdot 2 = 16$ см³.
Ответ: $16$ см³.