Номер 616, страница 185 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

616. Найдите объем правильной треугольной пирамиды, учитывая, что:

а) радиус шара, вписанного в нее, равен 10 см, а боковые грани наклонены к плоскости основания под углом в 60°;

б) ее высота равна $H$, а радиус описанного около нее шара — $R$.

а)

Объем правильной треугольной пирамиды вычисляется по формуле:$V = \frac{1}{3}S_{осн} \cdot H$,где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

В основании правильной треугольной пирамиды лежит равносторонний треугольник. Пусть $S$ — вершина пирамиды, $ABC$ — основание, $SO = H$ — высота, опущенная на центр основания $O$. Угол наклона боковых граней к плоскости основания — это угол между апофемой боковой грани (например, $SM$, где $M$ — середина $BC$) и проекцией этой апофемы на основание (отрезком $OM$). Таким образом, $\angle SMO = 60^\circ$. Отрезок $OM$ является радиусом вписанной в основание окружности ($r_{осн}$).

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOM$ (где $\angle SOM = 90^\circ$). В нем:$\tan(\angle SMO) = \frac{SO}{OM} = \frac{H}{r_{осн}}$$H = r_{осн} \cdot \tan(60^\circ) = r_{осн}\sqrt{3}$.

Центр вписанного в пирамиду шара (назовем его $O_{ш}$) лежит на высоте пирамиды $SO$. Радиус вписанного шара $r$ — это расстояние от центра $O_{ш}$ до любой грани пирамиды. Расстояние от $O_{ш}$ до основания $ABC$ равно $O_{ш}O = r = 10$ см. Расстояние от $O_{ш}$ до боковой грани $SBC$ также равно $r$. Это расстояние является перпендикуляром, опущенным из точки $O_{ш}$ на плоскость грани $SBC$. Этот перпендикуляр лежит в плоскости $SAM$ и перпендикулярен апофеме $SM$.

В сечении пирамиды плоскостью $SAM$ мы видим треугольник $SAM$ и вписанную в угол $\angle SMO$ окружность с центром $O_{ш}$ и радиусом $r$. Рассмотрим снова прямоугольный треугольник $SOM$. Точка $O_{ш}$ лежит на катете $SO$. Угол $\angle MSO = 90^\circ - \angle SMO = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный отрезком $SO_{ш}$, радиусом $r$, проведенным перпендикулярно к апофеме $SM$, и частью апофемы $SM$. В этом треугольнике гипотенузой является $SO_{ш}$, а катетом, противолежащим углу $\angle MSO$, является радиус $r$. Следовательно:$\sin(\angle MSO) = \frac{r}{SO_{ш}}$$SO_{ш} = \frac{r}{\sin(30^\circ)} = \frac{10}{1/2} = 20$ см.

Высота пирамиды $H$ равна сумме отрезков $SO_{ш}$ и $O_{ш}O$:$H = SO = SO_{ш} + O_{ш}O = 20 + 10 = 30$ см.

Теперь найдем радиус вписанной в основание окружности $r_{осн}$:$r_{осн} = \frac{H}{\tan(60^\circ)} = \frac{30}{\sqrt{3}} = 10\sqrt{3}$ см.

Для равностороннего треугольника со стороной $a$ радиус вписанной окружности $r_{осн} = \frac{a}{2\sqrt{3}}$. Отсюда найдем сторону основания $a$:$a = r_{осн} \cdot 2\sqrt{3} = 10\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} = 60$ см.

Площадь основания $S_{осн}$ равна:$S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{60^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3600\sqrt{3}}{4} = 900\sqrt{3}$ см$^2$.

Наконец, вычислим объем пирамиды:$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 900\sqrt{3} \cdot 30 = 9000\sqrt{3}$ см$^3$.

Ответ: $9000\sqrt{3} \text{ см}^3$.

б)

Найдем объем правильной треугольной пирамиды, зная ее высоту $H$ и радиус описанного около нее шара $R$. Центр описанного шара (назовем его $O_{ош}$) лежит на высоте пирамиды $SO$. Расстояние от $O_{ош}$ до вершины пирамиды $S$ и до всех вершин основания ($A, B, C$) равно радиусу $R$.

Пусть $O$ — центр основания пирамиды. $OA$ — радиус окружности, описанной около основания ($R_{осн}$). Рассмотрим прямоугольный треугольник $O_{ош}OA$, в котором $O_{ош}A = R$ (гипотенуза), $OA = R_{осн}$ (катет) и $O_{ош}O$ (катет). По теореме Пифагора:$R^2 = R_{осн}^2 + (O_{ош}O)^2$

Расстояние от центра шара $O_{ош}$ до вершины пирамиды $S$ также равно $R$, то есть $O_{ош}S = R$. Точки $S, O_{ош}, O$ лежат на одной прямой (высоте пирамиды). Расстояние $SO = H$. Тогда расстояние $O_{ош}O = |H - O_{ош}S| = |H - R|$. Подставим это в уравнение теоремы Пифагора:$R^2 = R_{осн}^2 + (H - R)^2$$R^2 = R_{осн}^2 + H^2 - 2HR + R^2$$0 = R_{осн}^2 + H^2 - 2HR$

Отсюда выразим квадрат радиуса описанной около основания окружности:$R_{осн}^2 = 2HR - H^2$(Это соотношение имеет физический смысл только при $2HR - H^2 > 0$, или $2R > H$, что очевидно, так как высота пирамиды не может превышать диаметр описанного шара).

Основание пирамиды — равносторонний треугольник. Его площадь $S_{осн}$ можно выразить через радиус описанной окружности $R_{осн}$. Сторона треугольника $a = R_{осн}\sqrt{3}$.$S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(R_{осн}\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3R_{осн}^2\sqrt{3}}{4}$

Подставим найденное выражение для $R_{осн}^2$:$S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{4}(2HR - H^2)$

Теперь найдем объем пирамиды:$V = \frac{1}{3}S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{4}(2HR - H^2) \cdot H$$V = \frac{\sqrt{3}}{4} H(2HR - H^2) = \frac{\sqrt{3}}{4} H^2(2R - H)$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{4}H^2(2R - H)$.