Номер 619, страница 186 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

619. Найдите площадь осевого сечения конуса с объемом $48 \text{ см}^3$ и длиной окружности основания 9 см.

Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник, основание которого равно диаметру основания конуса ($d = 2r$), а высота равна высоте конуса ($h$). Площадь такого сечения ($S_{сеч}$) вычисляется по формуле:
$S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot d \cdot h = \frac{1}{2} \cdot (2r) \cdot h = r \cdot h$

Для нахождения площади нам необходимо определить радиус основания ($r$) и высоту конуса ($h$).

1. Найдем радиус основания конуса, используя данную длину окружности основания $C = 9$ см. Формула длины окружности: $C = 2 \pi r$.
Выразим радиус из этой формулы:
$r = \frac{C}{2 \pi} = \frac{9}{2 \pi}$ см.

2. Найдем высоту конуса, используя данный объем $V = 48$ см³ и найденный радиус. Формула объема конуса: $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$.
Выразим высоту из этой формулы:
$h = \frac{3V}{\pi r^2}$
Подставим известные значения:
$h = \frac{3 \cdot 48}{\pi \left(\frac{9}{2 \pi}\right)^2} = \frac{144}{\pi \cdot \frac{81}{4 \pi^2}} = \frac{144}{\frac{81}{4 \pi}} = \frac{144 \cdot 4 \pi}{81}$
Сократим дробь $\frac{144}{81}$ на 9, получим $\frac{16}{9}$:
$h = \frac{16 \cdot 4 \pi}{9} = \frac{64 \pi}{9}$ см.

3. Теперь вычислим площадь осевого сечения, подставив найденные значения $r$ и $h$ в формулу $S_{сеч} = r \cdot h$:
$S_{сеч} = \left(\frac{9}{2 \pi}\right) \cdot \left(\frac{64 \pi}{9}\right)$
Сократим множители 9 и $\pi$ в числителе и знаменателе:
$S_{сеч} = \frac{64}{2} = 32$ см².

Ответ: $32 \text{ см}^2$.