Номер 612, страница 185 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

612. Найдите объем цилиндра, учитывая, что он вписан в:

а) правильную четырехугольную призму, каждое ребро которой равно $a$;

б) правильную шестиугольную призму, каждое ребро которой равно $a$;

в) шар с радиусом $R$, а высота равна диаметру основания;

г) шар с радиусом $R$, а диагональ его осевого сечения составляет с основанием угол $\alpha$.

Объем цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi r^2 h$, где $r$ - радиус основания, а $h$ - высота цилиндра.

а) Цилиндр вписан в правильную четырехугольную призму, каждое ребро которой равно $a$.
Основание правильной четырехугольной призмы — квадрат. Так как все ребра призмы равны $a$, то сторона квадрата в основании равна $a$, и высота призмы также равна $a$.
Высота вписанного цилиндра $h$ равна высоте призмы, следовательно, $h = a$.
Основание цилиндра — это круг, вписанный в квадратное основание призмы. Диаметр этого круга равен стороне квадрата.
Диаметр основания цилиндра равен $a$, значит, его радиус $r = \frac{a}{2}$.
Теперь найдем объем цилиндра:
$V = \pi r^2 h = \pi \left(\frac{a}{2}\right)^2 \cdot a = \pi \frac{a^2}{4} \cdot a = \frac{\pi a^3}{4}$.
Ответ: $\frac{\pi a^3}{4}$

б) Цилиндр вписан в правильную шестиугольную призму, каждое ребро которой равно $a$.
Основание правильной шестиугольной призмы — правильный шестиугольник со стороной $a$. Высота призмы равна $a$.
Высота вписанного цилиндра $h$ равна высоте призмы, следовательно, $h = a$.
Основание цилиндра — это круг, вписанный в правильный шестиугольник. Радиус такого круга $r$ равен апофеме шестиугольника.
Апофема правильного шестиугольника со стороной $a$ (расстояние от центра до середины стороны) находится как высота равностороннего треугольника со стороной $a$ (так как правильный шестиугольник состоит из 6 таких треугольников).
Радиус вписанного круга $r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Теперь найдем объем цилиндра:
$V = \pi r^2 h = \pi \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 \cdot a = \pi \frac{a^2 \cdot 3}{4} \cdot a = \frac{3\pi a^3}{4}$.
Ответ: $\frac{3\pi a^3}{4}$

в) Цилиндр вписан в шар с радиусом $R$, а высота цилиндра равна диаметру его основания.
Пусть $r$ — радиус основания цилиндра, а $h$ — его высота. По условию, $h = 2r$.
Рассмотрим осевое сечение комбинации тел. Сечением шара является большой круг радиуса $R$, а сечением цилиндра — прямоугольник со сторонами $2r$ (диаметр основания) и $h$ (высота). Этот прямоугольник вписан в большой круг.
Диагональ этого прямоугольника является диаметром большого круга, то есть ее длина равна $2R$.
По теореме Пифагора для треугольника, образованного диагональю, высотой и диаметром основания цилиндра: $(2R)^2 = (2r)^2 + h^2$.
Подставим условие $h = 2r$:
$(2R)^2 = (2r)^2 + (2r)^2 = 2 \cdot (2r)^2 = 8r^2$.
$4R^2 = 8r^2 \implies r^2 = \frac{4R^2}{8} = \frac{R^2}{2}$.
Тогда высота $h = 2r = 2\sqrt{\frac{R^2}{2}} = 2\frac{R}{\sqrt{2}} = R\sqrt{2}$.
Найдем объем цилиндра:
$V = \pi r^2 h = \pi \left(\frac{R^2}{2}\right) (R\sqrt{2}) = \frac{\pi R^3 \sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{2}\pi R^3}{2}$

г) Цилиндр вписан в шар с радиусом $R$, а диагональ его осевого сечения составляет с основанием угол $\alpha$.
Пусть $r$ — радиус основания цилиндра, а $h$ — его высота.
Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник со сторонами $2r$ и $h$, вписанный в большой круг шара радиуса $R$.
Диагональ этого прямоугольника является диаметром шара, ее длина равна $2R$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю осевого сечения ($2R$), высотой цилиндра ($h$) и диаметром его основания ($2r$). Угол между диагональю и основанием (стороной $2r$) равен $\alpha$.
Из соотношений в прямоугольном треугольнике:
Высота $h$ является катетом, противолежащим углу $\alpha$: $h = 2R \sin(\alpha)$.
Диаметр основания $2r$ является катетом, прилежащим к углу $\alpha$: $2r = 2R \cos(\alpha)$, откуда $r = R \cos(\alpha)$.
Найдем объем цилиндра:
$V = \pi r^2 h = \pi (R \cos(\alpha))^2 \cdot (2R \sin(\alpha)) = \pi R^2 \cos^2(\alpha) \cdot 2R \sin(\alpha) = 2\pi R^3 \sin(\alpha) \cos^2(\alpha)$.
Ответ: $2\pi R^3 \sin(\alpha) \cos^2(\alpha)$