Номер 606, страница 184 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

606. Есть цилиндр с радиусом основания $r$, осевым сечением которого является квадрат. В него вписана прямая треугольная призма, у которой два двугранных угла при боковых ребрах равны $\alpha$ каждый. Найдите объем призмы.

Объем прямой призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота призмы. Для решения задачи необходимо найти эти две величины.

1. Нахождение высоты призмы

По условию, осевое сечение цилиндра — это квадрат. Осевое сечение является прямоугольником, стороны которого равны высоте цилиндра $H$ и диаметру его основания $D$. Так как это квадрат, то $H = D$. Диаметр основания связан с радиусом $r$ соотношением $D = 2r$. Следовательно, высота цилиндра $H = 2r$. Поскольку прямая призма вписана в цилиндр, ее высота $h$ равна высоте цилиндра, то есть $h = 2r$.

2. Нахождение площади основания призмы

Основанием призмы является треугольник, вписанный в окружность основания цилиндра. Таким образом, окружность с радиусом $r$ является описанной для треугольника в основании, и ее радиус $R = r$.

Так как призма прямая, ее двугранные углы при боковых ребрах равны соответствующим углам треугольника в основании. По условию, два двугранных угла равны $\alpha$, следовательно, два угла треугольника также равны $\alpha$. Пусть это углы $A$ и $B$. Третий угол $C$ находится из суммы углов треугольника: $C = 180^\circ - (A + B) = 180^\circ - 2\alpha$.

Площадь треугольника можно вычислить по формуле через радиус описанной окружности и углы: $S_{осн} = 2R^2 \sin A \sin B \sin C$. Подставляя наши значения, получаем: $S_{осн} = 2r^2 \sin(\alpha) \sin(\alpha) \sin(180^\circ - 2\alpha)$.

Используя тригонометрическую формулу приведения $\sin(180^\circ - x) = \sin(x)$, имеем $\sin(180^\circ - 2\alpha) = \sin(2\alpha)$. Следовательно, площадь основания призмы равна: $S_{осн} = 2r^2 \sin^2(\alpha) \sin(2\alpha)$.

3. Вычисление объема призмы

Теперь мы можем вычислить объем призмы, подставив найденные значения высоты $h$ и площади основания $S_{осн}$ в исходную формулу: $V = S_{осн} \cdot h = (2r^2 \sin^2(\alpha) \sin(2\alpha)) \cdot (2r) = 4r^3 \sin^2(\alpha) \sin(2\alpha)$.

Ответ: $V = 4r^3 \sin^2(\alpha) \sin(2\alpha)$.