Номер 603, страница 183 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

603. Радиус шара равен 18 см. Выясните, какую площадь имеет часть его поверхности, которая видна из точки, отстоящей от центра на 30 см.

Пусть $R$ — радиус шара, а $d$ — расстояние от центра шара до точки наблюдения. По условию задачи имеем:

$R = 18$ см
$d = 30$ см

Часть поверхности шара, которая видна из внешней точки, представляет собой шаровой сегмент (также известный как сферическая шапка). Площадь поверхности шарового сегмента вычисляется по формуле:

$S = 2 \pi R h$

где $h$ — высота этого сегмента. Нам необходимо найти эту высоту.

Рассмотрим осевое сечение шара, проходящее через его центр $O$ и точку наблюдения $P$. В этом сечении мы увидим окружность радиуса $R$ с центром в точке $O$. Линии взгляда из точки $P$ будут касательными к этой окружности. Обозначим одну из точек касания как $T$.

В результате мы получаем прямоугольный треугольник $OTP$, где:

• $OP$ — гипотенуза, равная расстоянию от центра до точки, $d = 30$ см.
• $OT$ — катет, равный радиусу шара, $R = 18$ см.
• Угол $\angle OTP = 90^\circ$, так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.

Плоскость, проходящая через все точки касания, отсекает от шара видимый шаровой сегмент. Пусть эта плоскость пересекает отрезок $OP$ в точке $H$. Тогда высота искомого шарового сегмента $h$ будет равна разности радиуса $R$ и длины отрезка $OH$.

$h = R - OH$

Чтобы найти $OH$, воспользуемся метрическими соотношениями в прямоугольном треугольнике $OTP$. Квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу. Для катета $OT$ его проекцией на гипотенузу $OP$ является отрезок $OH$.

$OT^2 = OP \cdot OH$

Подставим известные значения:

$R^2 = d \cdot OH$

$18^2 = 30 \cdot OH$

$324 = 30 \cdot OH$

$OH = \frac{324}{30} = 10.8$ см

Теперь мы можем найти высоту шарового сегмента $h$:

$h = R - OH = 18 - 10.8 = 7.2$ см

Наконец, вычислим площадь видимой части поверхности шара, подставив найденные значения в формулу площади шарового сегмента:

$S = 2 \pi R h = 2 \pi \cdot 18 \cdot 7.2 = 36 \pi \cdot 7.2 = 259.2 \pi$ см$^2$.

Ответ: $259.2 \pi$ см$^2$.