Номер 598, страница 183 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

598. Найдите поверхность шара, описанного около правильной четырехугольной пирамиды, у которой:

а) сторона основания равна 2 см, а боковые грани наклонены к плоскости основания под углом в $60^\circ$;

б) сторона основания равна $a$, а боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом в $30^\circ$;

в) боковые грани наклонены к плоскости основания под углом в $60^\circ$, а радиус окружности, описанной около основания, равен 6 см;

г) ребро которой равно $a$ и составляет с плоскостью основания угол $\alpha$.

Для решения всех пунктов задачи воспользуемся общей схемой. Пусть дана правильная четырехугольная пирамида $SABCD$ с вершиной $S$, основанием-квадратом $ABCD$ и центром основания $O$. Высота пирамиды $h = SO$. Шар описан около пирамиды, это означает, что все вершины пирамиды ($A, B, C, D, S$) лежат на поверхности шара. Центр описанного шара $P$ лежит на высоте пирамиды $SO$. Рассмотрим осевое сечение пирамиды, проходящее через диагональ основания $AC$ и вершину $S$. В сечении получается равнобедренный треугольник $ASC$. Окружность, описанная около этого треугольника, является большим кругом описанного шара, а ее радиус $R$ — это радиус шара. Для нахождения радиуса $R$ можно использовать прямоугольный треугольник $AOP$, где $P$ — центр шара. По теореме Пифагора: $AP^2 = AO^2 + PO^2$. Так как $AP = R$ (радиус шара), $AO$ — половина диагонали основания, а $PO = |SO - SP| = |h - R|$, то получаем:$R^2 = AO^2 + (h - R)^2$$R^2 = AO^2 + h^2 - 2hR + R^2$$2hR = AO^2 + h^2$В прямоугольном треугольнике $SOA$ боковое ребро $l = SA$ является гипотенузой, поэтому $l^2 = SA^2 = SO^2 + AO^2 = h^2 + AO^2$. Подставляя это в предыдущее уравнение, получаем:$2hR = l^2$, откуда $R = \frac{l^2}{2h}$. Площадь поверхности шара вычисляется по формуле $S_{сферы} = 4 \pi R^2$.

а) сторона основания равна 2 см, а боковые грани наклонены к плоскости основания под углом в 60°;

1. Пусть сторона основания $a_{осн} = 2$ см. В основании лежит квадрат $ABCD$. $O$ — точка пересечения диагоналей. $OM$ — апофема основания (перпендикуляр из $O$ к стороне $CD$). Тогда $OM = \frac{1}{2} a_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$ см.2. Угол наклона боковой грани к плоскости основания — это угол $\angle SMO = 60^{\circ}$, где $SM$ — апофема пирамиды (высота боковой грани $SCD$).3. Из прямоугольного треугольника $SOM$ найдем высоту пирамиды $h=SO$: $h = SO = OM \cdot \tan(60^{\circ}) = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$ см.4. Найдем половину диагонали основания $AO$. Диагональ квадрата $AC = a_{осн}\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$ см. Тогда $AO = \frac{1}{2} AC = \sqrt{2}$ см.5. Из прямоугольного треугольника $SOA$ найдем квадрат длины бокового ребра $l=SA$: $l^2 = SA^2 = SO^2 + AO^2 = (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{2})^2 = 3 + 2 = 5$ см$^2$.6. Найдем радиус $R$ описанного шара: $R = \frac{l^2}{2h} = \frac{5}{2\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{6}$ см.7. Найдем площадь поверхности шара: $S_{сферы} = 4 \pi R^2 = 4 \pi \left(\frac{5\sqrt{3}}{6}\right)^2 = 4 \pi \frac{25 \cdot 3}{36} = 4 \pi \frac{25}{12} = \frac{25\pi}{3}$ см$^2$.

Ответ: $\frac{25\pi}{3}$ см$^2$.

б) сторона основания равна $a$, а боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом в 30°;

1. Сторона основания равна $a$. Диагональ основания $AC = a\sqrt{2}$. Половина диагонали $AO = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.2. Угол наклона бокового ребра к плоскости основания — это угол $\angle SAO = 30^{\circ}$.3. Из прямоугольного треугольника $SOA$ найдем высоту пирамиды $h=SO$ и боковое ребро $l=SA$: $h = SO = AO \cdot \tan(30^{\circ}) = \frac{a\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{6}}{6}$. $l = SA = \frac{AO}{\cos(30^{\circ})} = \frac{a\sqrt{2}/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{6}}{3}$.4. Найдем квадрат длины бокового ребра: $l^2 = \left(\frac{a\sqrt{6}}{3}\right)^2 = \frac{6a^2}{9} = \frac{2a^2}{3}$.5. Найдем радиус $R$ описанного шара: $R = \frac{l^2}{2h} = \frac{2a^2/3}{2 \cdot (a\sqrt{6}/6)} = \frac{2a^2/3}{a\sqrt{6}/3} = \frac{2a^2}{a\sqrt{6}} = \frac{2a}{\sqrt{6}} = \frac{2a\sqrt{6}}{6} = \frac{a\sqrt{6}}{3}$.6. Найдем площадь поверхности шара: $S_{сферы} = 4 \pi R^2 = 4 \pi \left(\frac{a\sqrt{6}}{3}\right)^2 = 4 \pi \frac{6a^2}{9} = 4 \pi \frac{2a^2}{3} = \frac{8\pi a^2}{3}$.

Ответ: $\frac{8\pi a^2}{3}$.

в) боковые грани наклонены к плоскости основания под углом в 60°, а радиус окружности, описанной около основания, равен 6 см;

1. Радиус окружности, описанной около основания (квадрата), равен половине его диагонали. Таким образом, $AO = 6$ см.2. Диагональ основания $AC = 2 \cdot AO = 12$ см. Сторона основания $a_{осн} = \frac{AC}{\sqrt{2}} = \frac{12}{\sqrt{2}} = 6\sqrt{2}$ см.3. Апофема основания $OM = \frac{1}{2}a_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{2} = 3\sqrt{2}$ см.4. Угол наклона боковой грани к плоскости основания $\angle SMO = 60^{\circ}$.5. Из прямоугольного треугольника $SOM$ найдем высоту пирамиды $h=SO$: $h = SO = OM \cdot \tan(60^{\circ}) = 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{6}$ см.6. Из прямоугольного треугольника $SOA$ найдем квадрат длины бокового ребра $l=SA$: $l^2 = SA^2 = SO^2 + AO^2 = (3\sqrt{6})^2 + 6^2 = 54 + 36 = 90$ см$^2$.7. Найдем радиус $R$ описанного шара: $R = \frac{l^2}{2h} = \frac{90}{2 \cdot 3\sqrt{6}} = \frac{90}{6\sqrt{6}} = \frac{15}{\sqrt{6}} = \frac{15\sqrt{6}}{6} = \frac{5\sqrt{6}}{2}$ см.8. Найдем площадь поверхности шара: $S_{сферы} = 4 \pi R^2 = 4 \pi \left(\frac{5\sqrt{6}}{2}\right)^2 = 4 \pi \frac{25 \cdot 6}{4} = 150\pi$ см$^2$.

Ответ: $150\pi$ см$^2$.

г) ребро которой равно $a$ и составляет с плоскостью основания угол $\alpha$.

1. В условии имеется в виду боковое ребро. Пусть боковое ребро $l = a$.2. Угол наклона бокового ребра к плоскости основания — это угол $\angle SAO = \alpha$.3. Из прямоугольного треугольника $SOA$ выразим высоту $h=SO$ и половину диагонали $AO$: $h = SO = l \sin(\alpha) = a \sin(\alpha)$. $AO = l \cos(\alpha) = a \cos(\alpha)$.4. Квадрат бокового ребра $l^2 = a^2$.5. Найдем радиус $R$ описанного шара, используя $l$ и $h$: $R = \frac{l^2}{2h} = \frac{a^2}{2a \sin(\alpha)} = \frac{a}{2 \sin(\alpha)}$.6. Найдем площадь поверхности шара: $S_{сферы} = 4 \pi R^2 = 4 \pi \left(\frac{a}{2 \sin(\alpha)}\right)^2 = 4 \pi \frac{a^2}{4 \sin^2(\alpha)} = \frac{\pi a^2}{\sin^2(\alpha)}$.

Ответ: $\frac{\pi a^2}{\sin^2(\alpha)}$.