Номер 592, страница 182 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

592. Через середину радиуса шара проведена перпендикулярная ему плоскость. Выясните, как относится площадь полученного сечения к площади большого круга.

Пусть радиус шара равен $R$. Площадь большого круга, который является сечением шара плоскостью, проходящей через его центр, вычисляется по формуле:

$S_{б.к.} = \pi R^2$

По условию задачи, секущая плоскость проведена через середину радиуса и перпендикулярна ему. Это значит, что расстояние $d$ от центра шара до плоскости сечения составляет половину радиуса:

$d = \frac{R}{2}$

В сечении шара плоскостью образуется круг. Обозначим радиус этого круга через $r$. Связь между радиусом шара $R$, радиусом сечения $r$ и расстоянием $d$ от центра шара до плоскости сечения можно найти, рассмотрев прямоугольный треугольник. В этом треугольнике гипотенузой является радиус шара $R$, а катетами — радиус сечения $r$ и расстояние $d$. По теореме Пифагора:

$R^2 = d^2 + r^2$

Выразим из этого уравнения квадрат радиуса сечения $r^2$:

$r^2 = R^2 - d^2$

Подставим значение $d = \frac{R}{2}$ в полученную формулу:

$r^2 = R^2 - \left(\frac{R}{2}\right)^2 = R^2 - \frac{R^2}{4} = \frac{4R^2 - R^2}{4} = \frac{3R^2}{4}$

Теперь найдем площадь полученного сечения $S_{сеч}$ по формуле площади круга:

$S_{сеч} = \pi r^2 = \pi \left(\frac{3R^2}{4}\right) = \frac{3}{4}\pi R^2$

Осталось найти отношение площади полученного сечения к площади большого круга:

$\frac{S_{сеч}}{S_{б.к.}} = \frac{\frac{3}{4}\pi R^2}{\pi R^2} = \frac{3}{4}$

Таким образом, площадь сечения составляет $\frac{3}{4}$ от площади большого круга.

Ответ: Отношение площади полученного сечения к площади большого круга равно $\frac{3}{4}$.