Номер 596, страница 182 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

596. В цилиндр, диаметр $d$ которого равен высоте, вписан шар. Найдите поверхность шара и полную поверхность цилиндра.

По условию, в цилиндр вписан шар. Это значит, что диаметр шара равен высоте цилиндра и диаметру его основания. В задаче указано, что диаметр цилиндра $d$ равен его высоте $h$. Следовательно, все эти три величины — диаметр цилиндра, высота цилиндра и диаметр вписанного шара — равны $d$.
Отсюда находим радиусы шара и основания цилиндра:
Радиус шара: $R_{ш} = d/2$.
Радиус основания цилиндра: $R_{ц} = d/2$.
Высота цилиндра: $h = d$.

поверхность шара

Площадь поверхности шара ($S_{ш}$) вычисляется по формуле $S_{ш} = 4 \pi R_{ш}^2$. Подставим в эту формулу значение радиуса шара $R_{ш} = d/2$:
$S_{ш} = 4 \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 = 4 \pi \frac{d^2}{4} = \pi d^2$.
Ответ: $\pi d^2$.

полную поверхность цилиндра

Полная поверхность цилиндра ($S_{ц}$) равна сумме площади его боковой поверхности ($S_{бок}$) и площадей двух его оснований ($2S_{осн}$).
$S_{ц} = S_{бок} + 2S_{осн}$.
Площадь боковой поверхности вычисляется по формуле $S_{бок} = 2 \pi R_{ц} h$. Подставив $R_{ц} = d/2$ и $h = d$, получим:
$S_{бок} = 2 \pi \left(\frac{d}{2}\right) d = \pi d^2$.
Площадь одного основания (круга) вычисляется по формуле $S_{осн} = \pi R_{ц}^2$. Подставив $R_{ц} = d/2$, получим:
$S_{осн} = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$.
Теперь вычислим полную поверхность цилиндра:
$S_{ц} = S_{бок} + 2S_{осн} = \pi d^2 + 2 \left(\frac{\pi d^2}{4}\right) = \pi d^2 + \frac{\pi d^2}{2} = \frac{2\pi d^2 + \pi d^2}{2} = \frac{3\pi d^2}{2}$.
Ответ: $\frac{3}{2} \pi d^2$.