Номер 597, страница 182 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

597. Найдите поверхность шара, учитывая, что:

а) он вписан в цилиндр с боковой поверхностью $36\pi$ см$^2$;

б) в него вписана прямая призма, основанием которой является равнобедренный прямоугольный треугольник, высота призмы равна 12 см, а длина диагонали меньшей грани — 13 см;

в) он описан около прямой призмы, основанием которой является равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами 3 см, а площадь сечения, проведенного через один из катетов основания и противолежащую вершину другого основания, равна $7,5$ см$^2$;

г) он касается поверхности данного шара с радиусом $r$, боковой поверхности цилиндра, описанного около данного шара и одного основания цилиндра;

д) осевое сечение цилиндра, вписанного в шар, является квадратом, а боковая поверхность цилиндра равна $16\pi$ см$^2$;

е) он вписан в правильную четырехугольную пирамиду со стороной основания 4 см и боковой гранью, наклоненной к плоскости основания под углом $\alpha$;

ж) он вписан в правильную четырехугольную пирамиду, высота которой втрое больше радиуса шара, а сторона основания равна $a$;

з) он описан около правильной пирамиды, боковое ребро которой равно $b$ и составляет с основанием пирамиды угол $\alpha$;

и) он вписан в конус, образующая которого равна $l$ и составляет с плоскостью основания угол в $60^\circ$.

Для решения всех подзадач будем использовать формулу площади поверхности шара: $S = 4\pi R^2$, где $R$ — радиус шара. Нашей основной задачей в каждом пункте будет нахождение этого радиуса.

а)

Если шар вписан в цилиндр, то его радиус $R$ равен радиусу основания цилиндра $r_{цил}$, а диаметр шара $2R$ равен высоте цилиндра $H$.
Таким образом, $r_{цил} = R$ и $H = 2R$.
Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{бок. цил.} = 2\pi r_{цил} H$.
Подставим в эту формулу наши соотношения:
$S_{бок. цил.} = 2\pi \cdot R \cdot (2R) = 4\pi R^2$.
По условию $S_{бок. цил.} = 36\pi$ см².
Следовательно, $4\pi R^2 = 36\pi$ см².
Площадь поверхности шара $S_{шара}$ как раз равна $4\pi R^2$.
Значит, $S_{шара} = 36\pi$ см².
Ответ: $36\pi$ см².

б)

Если в шар вписана прямая призма, то радиус шара $R$ можно найти по формуле $R^2 = (\frac{H}{2})^2 + r_{опис}^2$, где $H$ — высота призмы, а $r_{опис}$ — радиус окружности, описанной около основания призмы.
Основание призмы — равнобедренный прямоугольный треугольник. Меньшие грани призмы — это прямоугольники со сторонами, равными катету треугольника $a$ и высоте призмы $H$. Диагональ такой грани $d = 13$ см.
По теореме Пифагора для этой грани: $d^2 = a^2 + H^2$.
С учетом $H=12$ см и $d=13$ см:
$13^2 = a^2 + 12^2 \implies 169 = a^2 + 144 \implies a^2 = 25 \implies a = 5$ см.
Основание — прямоугольный треугольник с катетами по 5 см. Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы $c$.
$c = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ см.
$r_{опис} = \frac{c}{2} = \frac{5\sqrt{2}}{2}$ см.
Теперь найдем радиус шара $R$:
$R^2 = (\frac{12}{2})^2 + (\frac{5\sqrt{2}}{2})^2 = 6^2 + \frac{25 \cdot 2}{4} = 36 + \frac{50}{4} = 36 + 12,5 = 48,5$.
Площадь поверхности шара:
$S_{шара} = 4\pi R^2 = 4\pi \cdot 48,5 = 194\pi$ см².
Ответ: $194\pi$ см².

в)

Шар описан около прямой призмы. Основание — равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами $a=3$ см. Сечение проходит через катет одного основания и противолежащую вершину другого основания. Площадь этого сечения $S_{сеч} = 7,5$ см².
Пусть основание $ABC$ с прямым углом $C$. Сечение проходит, например, через катет $AC$ и вершину $B'$. Это сечение является треугольником $ACB'$. Его основание $AC = 3$ см. Высотой этого треугольника является отрезок $B'C$, который является диагональю боковой грани призмы со сторонами $BC=3$ и высотой $H$.
$S_{сеч} = \frac{1}{2} AC \cdot B'C$.
$B'C = \sqrt{BC^2 + H^2} = \sqrt{3^2 + H^2} = \sqrt{9+H^2}$.
$7,5 = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot \sqrt{9+H^2} \implies 15 = 3\sqrt{9+H^2} \implies 5 = \sqrt{9+H^2}$.
Возведя в квадрат, получим: $25 = 9+H^2 \implies H^2 = 16 \implies H=4$ см.
Как и в задаче б), $R^2 = (\frac{H}{2})^2 + r_{опис}^2$.
Гипотенуза основания $c = \sqrt{3^2+3^2} = 3\sqrt{2}$ см. Радиус описанной окружности $r_{опис} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$ см.
$R^2 = (\frac{4}{2})^2 + (\frac{3\sqrt{2}}{2})^2 = 2^2 + \frac{9 \cdot 2}{4} = 4 + 4,5 = 8,5$.
Площадь поверхности шара:
$S_{шара} = 4\pi R^2 = 4\pi \cdot 8,5 = 34\pi$ см².
Ответ: $34\pi$ см².

г)

Пусть искомый шар имеет радиус $R$. Он касается другого шара радиусом $r$, а также боковой поверхности и одного основания цилиндра, описанного около шара радиусом $r$.
Рассмотрим осевое сечение. Цилиндр превратится в квадрат со стороной $2r$, в который вписан круг (сечение шара радиусом $r$). Искомый шар в сечении будет кругом радиусом $R$, который касается одной стороны квадрата (основание цилиндра), другой стороны квадрата (боковая поверхность) и вписанного круга радиусом $r$.
Пусть центр основания цилиндра — начало координат $(0,0)$. Тогда центр шара радиусом $r$ находится в точке $O_2(0,r)$. Центр искомого шара $O_1$ будет иметь координаты $(r-R, R)$, так как он касается боковой поверхности (линия $x=r$) и основания (линия $y=0$).
Расстояние между центрами касающихся шаров равно сумме их радиусов: $d(O_1, O_2) = R+r$.
По формуле расстояния между точками:
$(R+r)^2 = (r-R-0)^2 + (R-r)^2 = (r-R)^2 + (R-r)^2 = 2(R-r)^2$.
$R^2 + 2Rr + r^2 = 2(R^2 - 2Rr + r^2)$.
$R^2 + 2Rr + r^2 = 2R^2 - 4Rr + 2r^2$.
$R^2 - 6Rr + r^2 = 0$.
Решаем квадратное уравнение относительно $R$:
$R = \frac{6r \pm \sqrt{36r^2 - 4r^2}}{2} = \frac{6r \pm \sqrt{32r^2}}{2} = \frac{6r \pm 4r\sqrt{2}}{2} = (3 \pm 2\sqrt{2})r$.
Так как искомый шар находится внутри цилиндра, его радиус $R$ должен быть меньше радиуса цилиндра $r$. Решение $R=(3+2\sqrt{2})r$ не подходит, так как оно больше $r$.
Следовательно, $R = (3 - 2\sqrt{2})r$.
Площадь поверхности шара:
$S_{шара} = 4\pi R^2 = 4\pi ((3 - 2\sqrt{2})r)^2 = 4\pi (9 - 12\sqrt{2} + 8)r^2 = 4\pi(17-12\sqrt{2})r^2 = (68 - 48\sqrt{2})\pi r^2$.
Ответ: $(68 - 48\sqrt{2})\pi r^2$.

д)

Осевое сечение вписанного в шар цилиндра является квадратом. Это значит, что высота цилиндра $H$ равна его диаметру $2r_{цил}$, то есть $H=2r_{цил}$.
Площадь боковой поверхности цилиндра $S_{бок. цил.} = 2\pi r_{цил} H = 16\pi$.
$2\pi r_{цил} (2r_{цил}) = 16\pi \implies 4\pi r_{цил}^2 = 16\pi \implies r_{цил}^2 = 4 \implies r_{цил} = 2$ см.
Тогда высота цилиндра $H = 2 \cdot 2 = 4$ см.
Диагональ осевого сечения (квадрата) является диаметром описанного шара $2R$.
$(2R)^2 = H^2 + (2r_{цил})^2 = 4^2 + 4^2 = 16+16=32$.
$4R^2 = 32 \implies R^2 = 8$.
Площадь поверхности шара:
$S_{шара} = 4\pi R^2 = 4\pi \cdot 8 = 32\pi$ см².
Ответ: $32\pi$ см².

е)

Радиус шара $R$, вписанного в правильную четырехугольную пирамиду, можно найти через половину стороны основания $a/2$ и угол $\alpha$ наклона боковой грани к основанию. Рассмотрим сечение, проходящее через высоту пирамиды и апофему. В этом сечении шар является вписанной окружностью. Радиус этой окружности связан с катетами прямоугольного треугольника (образованного высотой пирамиды, половиной стороны основания и апофемой) по формуле:
$R = \frac{a}{2} \tan(\frac{\alpha}{2})$.
По условию $a=4$ см.
$R = \frac{4}{2} \tan(\frac{\alpha}{2}) = 2\tan(\frac{\alpha}{2})$.
Площадь поверхности шара:
$S_{шара} = 4\pi R^2 = 4\pi (2\tan(\frac{\alpha}{2}))^2 = 4\pi \cdot 4\tan^2(\frac{\alpha}{2}) = 16\pi\tan^2(\frac{\alpha}{2})$ см².
Ответ: $16\pi\tan^2(\frac{\alpha}{2})$ см².

ж)

Шар вписан в правильную четырехугольную пирамиду. Высота пирамиды $H$ втрое больше радиуса шара $R$, то есть $H=3R$. Сторона основания равна $a$.
Рассмотрим осевое сечение, проходящее через высоту пирамиды $H$ и апофему. Центр вписанного шара лежит на высоте пирамиды. Расстояние от центра шара до апофемы и до основания равно $R$.
Из подобия треугольников (треугольника, образованного высотой, половиной стороны основания и апофемой, и треугольника, образованного отрезком высоты от вершины до центра шара, радиусом к точке касания и отрезком апофемы) получаем соотношение:
$\frac{R}{a/2} = \frac{H-R}{\sqrt{H^2 + (a/2)^2}}$.
Подставим $H=3R$:
$\frac{R}{a/2} = \frac{3R-R}{\sqrt{(3R)^2 + (a/2)^2}} \implies \frac{R}{a/2} = \frac{2R}{\sqrt{9R^2 + a^2/4}}$.
Сократим на $R$ (так как $R \ne 0$) и перевернем дроби:
$\frac{a}{2} = \frac{\sqrt{9R^2 + a^2/4}}{2} \implies a = \sqrt{9R^2 + a^2/4}$.
Возведем в квадрат: $a^2 = 9R^2 + a^2/4 \implies \frac{3a^2}{4} = 9R^2 \implies R^2 = \frac{3a^2}{36} = \frac{a^2}{12}$.
Площадь поверхности шара:
$S_{шара} = 4\pi R^2 = 4\pi \frac{a^2}{12} = \frac{\pi a^2}{3}$.
Ответ: $\frac{\pi a^2}{3}$.

з)

Шар описан около правильной пирамиды. Все вершины пирамиды лежат на поверхности шара. Центр шара лежит на высоте пирамиды.
Рассмотрим сечение, проходящее через высоту пирамиды $H$, боковое ребро $b$ и радиус описанной около основания окружности $r_{опис}$. Это прямоугольный треугольник, где $b$ — гипотенуза. Угол между боковым ребром и основанием равен $\alpha$.
Из этого треугольника: $H = b\sin\alpha$ и $r_{опис} = b\cos\alpha$.
Радиус описанного шара $R$ для пирамиды находится по формуле $R = \frac{b^2}{2H}$.
Подставим выражение для $H$:
$R = \frac{b^2}{2(b\sin\alpha)} = \frac{b}{2\sin\alpha}$.
Площадь поверхности шара:
$S_{шара} = 4\pi R^2 = 4\pi (\frac{b}{2\sin\alpha})^2 = 4\pi \frac{b^2}{4\sin^2\alpha} = \frac{\pi b^2}{\sin^2\alpha}$.
Ответ: $\frac{\pi b^2}{\sin^2\alpha}$.

и)

Шар вписан в конус. Рассмотрим осевое сечение конуса. Это равнобедренный треугольник, в который вписана окружность (сечение шара). Образующая конуса $l$ является боковой стороной треугольника, а радиус основания конуса $r_{кон}$ — половиной основания треугольника. Угол между образующей и основанием равен $60^\circ$.
Из прямоугольного треугольника, образованного высотой конуса $H_{кон}$, радиусом $r_{кон}$ и образующей $l$:
$r_{кон} = l \cos(60^\circ) = l \cdot \frac{1}{2} = \frac{l}{2}$.
Радиус $R$ вписанного в конус шара (или вписанной в осевое сечение окружности) находится по формуле:
$R = r_{кон} \tan(\frac{60^\circ}{2}) = r_{кон} \tan(30^\circ)$.
$R = \frac{l}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{l}{2\sqrt{3}}$.
Площадь поверхности шара:
$S_{шара} = 4\pi R^2 = 4\pi (\frac{l}{2\sqrt{3}})^2 = 4\pi \frac{l^2}{4 \cdot 3} = \frac{4\pi l^2}{12} = \frac{\pi l^2}{3}$.
Ответ: $\frac{\pi l^2}{3}$.