Номер 602, страница 183 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

602. Полушар и вписанный в него конус имеют общее основание и общую высоту. Через середину высоты проведена плоскость, параллельная основанию. Докажите, что площадь сечения, заключенного между боковой поверхностью конуса и поверхностью полушара, равна половине площади основания.

Пусть радиус общего основания полушара и конуса равен $R$.

Так как полушар и вписанный в него конус имеют общую высоту, то высота $H$ обоих тел равна радиусу полушара, который в свою очередь равен радиусу основания $R$. Таким образом, $H = R$.

Площадь основания $S_{осн}$ вычисляется по формуле площади круга: $S_{осн} = \pi R^2$

Через середину высоты проведена плоскость, параллельная основанию. Это означает, что плоскость сечения находится на расстоянии $h = \frac{H}{2} = \frac{R}{2}$ от основания.

Искомая площадь сечения — это площадь кольца, образованного разностью площадей двух кругов: круга, являющегося сечением полушара, и круга, являющегося сечением конуса.

1. Найдём площадь сечения полушара.

Рассмотрим осевое сечение. Оно представляет собой полукруг радиуса $R$. Сечение плоскостью на высоте $h$ от основания является кругом. Радиус этого круга, обозначим его $R_1$, можно найти с помощью теоремы Пифагора. В прямоугольном треугольнике, образованном радиусом полушара $R$ (гипотенуза), высотой сечения $h$ и радиусом сечения $R_1$ (катеты), выполняется соотношение: $R_1^2 + h^2 = R^2$

Подставим значение $h = \frac{R}{2}$: $R_1^2 = R^2 - \left(\frac{R}{2}\right)^2 = R^2 - \frac{R^2}{4} = \frac{3R^2}{4}$

Площадь сечения полушара $S_1$ равна: $S_1 = \pi R_1^2 = \frac{3\pi R^2}{4}$

2. Найдём площадь сечения конуса.

Рассмотрим осевое сечение конуса. Оно представляет собой равнобедренный треугольник с высотой $H=R$ и основанием $2R$. Сечение конуса на высоте $h = \frac{R}{2}$ от основания также является кругом. Его радиус, обозначим $R_2$, можно найти из подобия треугольников.

Малый конус, отсекаемый плоскостью, имеет высоту $H' = H - h = R - \frac{R}{2} = \frac{R}{2}$. Осевые сечения исходного и малого конусов являются подобными треугольниками. Отношение радиусов равно отношению высот: $\frac{R_2}{R} = \frac{H'}{H} = \frac{R/2}{R} = \frac{1}{2}$

Отсюда $R_2 = \frac{R}{2}$.

Площадь сечения конуса $S_2$ равна: $S_2 = \pi R_2^2 = \pi \left(\frac{R}{2}\right)^2 = \frac{\pi R^2}{4}$

3. Найдём площадь искомого сечения.

Площадь $S_{сеч}$ кольца, заключенного между боковой поверхностью конуса и поверхностью полушара, равна разности площадей сечения полушара и сечения конуса: $S_{сеч} = S_1 - S_2 = \frac{3\pi R^2}{4} - \frac{\pi R^2}{4} = \frac{2\pi R^2}{4} = \frac{\pi R^2}{2}$

Сравним полученную площадь с площадью основания $S_{осн} = \pi R^2$. $S_{сеч} = \frac{\pi R^2}{2} = \frac{1}{2} S_{осн}$

Таким образом, доказано, что площадь сечения, заключенного между боковой поверхностью конуса и поверхностью полушара, равна половине площади основания.

Ответ: Утверждение доказано. Площадь искомого сечения равна $\frac{1}{2} \pi R^2$, что составляет половину от площади основания $\pi R^2$.