Номер 605, страница 184 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

605. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, вписанного в цилиндр:

а) с радиусом $r$, учитывая, что диагональ параллелепипеда составляет с основанием цилиндра угол $\alpha$, а угол между диагоналями основания равен $60^\circ$;

б) с высотой $h$, учитывая, что угол между диагоналями одной грани параллелепипеда, обращенный к боковому ребру, равен $\alpha$, а угол между диагоналями параллелепипеда, обращенный к тому же ребру, — $\beta$.

а) Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда равны $a, b, H$. Объем параллелепипеда вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H = a \cdot b \cdot H$.

Поскольку параллелепипед вписан в цилиндр, его основание (прямоугольник) вписано в окружность основания цилиндра. Радиус этой окружности равен $r$. Диагональ $d$ прямоугольника, вписанного в окружность, равна диаметру этой окружности. Следовательно, диагональ основания параллелепипеда равна $d = 2r$.

Площадь основания $S_{осн}$ можно найти, используя формулу площади четырехугольника через его диагонали и угол между ними. Диагонали прямоугольника равны, то есть $d_1 = d_2 = d = 2r$. Угол между диагоналями по условию равен $60°$. $S_{осн} = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin(60^\circ) = \frac{1}{2} (2r)(2r) \frac{\sqrt{3}}{2} = r^2\sqrt{3}$.

Диагональ параллелепипеда $D$, его высота $H$ и диагональ основания $d$ образуют прямоугольный треугольник. Угол $\alpha$ между диагональю параллелепипеда и основанием цилиндра — это угол между $D$ и $d$. В этом прямоугольном треугольнике: $\tan(\alpha) = \frac{H}{d}$. Отсюда находим высоту параллелепипеда: $H = d \tan(\alpha) = 2r \tan(\alpha)$.

Теперь можем вычислить объем параллелепипеда: $V = S_{осн} \cdot H = (r^2\sqrt{3}) \cdot (2r \tan(\alpha)) = 2\sqrt{3}r^3\tan(\alpha)$.

Ответ: $V = 2\sqrt{3}r^3\tan(\alpha)$.

б) Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда — это стороны основания $a, b$ и высота $h$. Объем $V = abh$.

Рассмотрим одну из боковых граней параллелепипеда, например, грань со сторонами $a$ и $h$. Диагонали этой грани пересекаются в ее центре. Угол между диагоналями, обращенный к боковому ребру (стороне $h$), по условию равен $\alpha$. Рассмотрим равнобедренный треугольник, образованный боковым ребром $h$ (в качестве основания) и двумя половинами диагоналей грани. Высота этого треугольника, проведенная к основанию $h$, равна $a/2$. Эта высота также является биссектрисой угла $\alpha$. В получившемся прямоугольном треугольнике с катетами $h/2$ и $a/2$ имеем соотношение: $\tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{h/2}{a/2} = \frac{h}{a}$. Отсюда выразим сторону $a$: $a = \frac{h}{\tan(\alpha/2)} = h \cot(\frac{\alpha}{2})$.

Теперь рассмотрим "угол между диагоналями параллелепипеда, обращенный к тому же ребру", равный $\beta$. Наиболее естественная интерпретация этого условия — это угол между двумя пространственными диагоналями, которые лежат в одной плоскости с рассматриваемым боковым ребром. Такая плоскость является диагональным сечением параллелепипеда и представляет собой прямоугольник со сторонами $h$ и $d_{осн} = \sqrt{a^2+b^2}$ (диагональ основания).

Аналогично рассуждениям для боковой грани, рассмотрим равнобедренный треугольник, образованный боковым ребром $h$ (основание) и двумя половинами пространственных диагоналей. Угол при вершине этого треугольника равен $\beta$. Высота, проведенная к основанию $h$, равна $d_{осн}/2$. В получившемся прямоугольном треугольнике имеем соотношение: $\tan(\frac{\beta}{2}) = \frac{h/2}{d_{осн}/2} = \frac{h}{d_{осн}}$. Отсюда выразим диагональ основания: $d_{осн} = \frac{h}{\tan(\beta/2)} = h \cot(\frac{\beta}{2})$.

Мы знаем, что для прямоугольного основания $d_{осн}^2 = a^2+b^2$. Подставим найденные выражения для $a$ и $d_{осн}$: $(h \cot(\frac{\beta}{2}))^2 = (h \cot(\frac{\alpha}{2}))^2 + b^2$. $h^2 \cot^2(\frac{\beta}{2}) = h^2 \cot^2(\frac{\alpha}{2}) + b^2$. $b^2 = h^2 (\cot^2(\frac{\beta}{2}) - \cot^2(\frac{\alpha}{2}))$. $b = h \sqrt{\cot^2(\frac{\beta}{2}) - \cot^2(\frac{\alpha}{2})}$. (Для существования такого параллелепипеда необходимо, чтобы $\cot^2(\frac{\beta}{2}) > \cot^2(\frac{\alpha}{2})$, что для углов в интервале $(0, \pi)$ означает $\beta < \alpha$).

Теперь находим объем параллелепипеда: $V = a \cdot b \cdot h = \left(h \cot(\frac{\alpha}{2})\right) \cdot \left(h \sqrt{\cot^2(\frac{\beta}{2}) - \cot^2(\frac{\alpha}{2})}\right) \cdot h$. $V = h^3 \cot(\frac{\alpha}{2}) \sqrt{\cot^2(\frac{\beta}{2}) - \cot^2(\frac{\alpha}{2})}$.

Ответ: $V = h^3 \cot(\frac{\alpha}{2}) \sqrt{\cot^2(\frac{\beta}{2}) - \cot^2(\frac{\alpha}{2})}$.