Номер 609, страница 184 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

609. Железобетонная плита для перекрытия потолка размерами $180 \times 24 \times 580$ см имеет по длине 9 круглых сквозных отверстий диаметром 10 см. Найдите массу плиты, приняв плотность железобетона равной $2400$ кг/м$^3$.

Для того чтобы найти массу железобетонной плиты, необходимо вычислить её фактический объём и умножить его на заданную плотность. Фактический объём плиты представляет собой объём сплошного прямоугольного параллелепипеда за вычетом суммарного объёма девяти сквозных цилиндрических отверстий.

Сначала переведём все размеры в метры, чтобы они соответствовали единицам измерения плотности (кг/м³).
Размеры плиты: длина $l = 580 \text{ см} = 5.8 \text{ м}$, ширина $w = 180 \text{ см} = 1.8 \text{ м}$, высота $h = 24 \text{ см} = 0.24 \text{ м}$.
Размеры отверстий: диаметр $d = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$, что соответствует радиусу $r = 0.05 \text{ м}$. Длина отверстий равна длине плиты, то есть $l_{отв} = 5.8 \text{ м}$.

Объём плиты без учёта отверстий ($V_{общий}$) как прямоугольного параллелепипеда равен:
$V_{общий} = l \cdot w \cdot h = 5.8 \text{ м} \cdot 1.8 \text{ м} \cdot 0.24 \text{ м} = 2.5056 \text{ м}^3$.

Далее вычислим суммарный объём девяти цилиндрических отверстий ($V_{отверстий}$). Объём одного цилиндрического отверстия рассчитывается по формуле $V_{1} = \pi r^2 l_{отв}$.
Суммарный объём всех отверстий:
$V_{отверстий} = 9 \cdot \pi \cdot r^2 \cdot l_{отв} = 9 \cdot \pi \cdot (0.05 \text{ м})^2 \cdot 5.8 \text{ м} = 0.1305\pi \text{ м}^3$.

Фактический объём железобетона в плите ($V_{факт}$) равен разности общего объёма и объёма отверстий:
$V_{факт} = V_{общий} - V_{отверстий} = 2.5056 - 0.1305\pi \text{ м}^3$.

Наконец, найдём массу плиты ($m$), умножив её фактический объём на плотность железобетона ($\rho = 2400 \text{ кг/м}^3$):
$m = V_{факт} \cdot \rho = (2.5056 - 0.1305\pi) \text{ м}^3 \cdot 2400 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$.
Для расчёта используем приближенное значение $\pi \approx 3.14159$:
$m \approx (2.5056 - 0.1305 \cdot 3.14159) \cdot 2400 \approx (2.5056 - 0.40998) \cdot 2400 \approx 2.09562 \cdot 2400 \approx 5029.49 \text{ кг}$.

Ответ: $5029.49 \text{ кг}$.