Номер 608, страница 184 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

608. Найдите объем правильной треугольной призмы, описанной около шара с радиусом $r$.

Объем призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $H$ — высота призмы.

По условию, призма является правильной треугольной, значит в ее основании лежит равносторонний треугольник, а боковые ребра перпендикулярны основаниям.

Шар вписан в призму, это означает, что он касается обоих оснований призмы (верхнего и нижнего) и всех трех боковых граней.

1. Найдем высоту призмы $H$.
Поскольку шар касается верхнего и нижнего оснований, расстояние между этими основаниями, то есть высота призмы $H$, должно быть равно диаметру шара.$H = 2r$

2. Найдем площадь основания призмы $S_{осн}$.
Основанием является равносторонний треугольник. Так как шар касается трех боковых граней призмы, то окружность, полученная в сечении шара плоскостью, проходящей через его центр параллельно основаниям, будет вписана в равносторонний треугольник основания. Радиус этой вписанной окружности равен радиусу шара $r$.

Связь между стороной равностороннего треугольника $a$ и радиусом вписанной в него окружности $r$ выражается формулой:

$r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$

Выразим из этой формулы сторону треугольника $a$:

$a = 2\sqrt{3}r$

Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:

$S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Подставим найденное выражение для $a$:

$S_{осн} = \frac{(2\sqrt{3}r)^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(4 \cdot 3 \cdot r^2)\sqrt{3}}{4} = \frac{12r^2\sqrt{3}}{4} = 3\sqrt{3}r^2$

3. Найдем объем призмы $V$.
Теперь, зная площадь основания и высоту, мы можем вычислить объем призмы:

$V = S_{осн} \cdot H = (3\sqrt{3}r^2) \cdot (2r) = 6\sqrt{3}r^3$

Ответ: $6\sqrt{3}r^3$