Номер 610, страница 184 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

610. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, вписанного в шар с радиусом $R$, учитывая, что диагональ параллелепипеда составляет с одной гранью угол $\alpha$, а:

а) с другой — угол в $60^{\circ}$;

б) угол между диагональю этой грани и стороной основания равен $60^{\circ}$.

Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда равны $a, b, c$. Параллелепипед вписан в шар радиуса $R$. Это означает, что все его вершины лежат на поверхности шара. Диагональ параллелепипеда $d$ является диаметром описанного шара, поэтому $d = 2R$. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его измерений: $d^2 = a^2 + b^2 + c^2$. Следовательно, $a^2 + b^2 + c^2 = (2R)^2 = 4R^2$.

Угол $\phi$ между диагональю параллелепипеда и одной из его граней связан с измерением, перпендикулярным этой грани. Если диагональ $d$ составляет угол $\phi$ с гранью, то измерение, перпендикулярное этой грани, равно $d \sin\phi$.

а)

По условию, диагональ параллелепипеда составляет с одной гранью угол $\alpha$, а с другой (смежной) гранью — угол $60^\circ$. Пусть измерение $c$ перпендикулярно первой грани (с которой угол $\alpha$), а измерение $b$ перпендикулярно второй грани (с которой угол $60^\circ$). Тогда, используя соотношение $d=2R$, получаем:$c = d \sin\alpha = 2R \sin\alpha$$b = d \sin(60^\circ) = 2R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = R\sqrt{3}$

Теперь найдем третье измерение $a$ из соотношения $a^2 + b^2 + c^2 = 4R^2$:$a^2 + (R\sqrt{3})^2 + (2R\sin\alpha)^2 = 4R^2$$a^2 + 3R^2 + 4R^2\sin^2\alpha = 4R^2$$a^2 = 4R^2 - 3R^2 - 4R^2\sin^2\alpha = R^2(1 - 4\sin^2\alpha)$$a = R\sqrt{1 - 4\sin^2\alpha}$Для существования такого параллелепипеда необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным: $1 - 4\sin^2\alpha \ge 0$, то есть $\sin^2\alpha \le \frac{1}{4}$. Так как угол $\alpha$ в геометрической задаче обычно острый, это означает $0 < \alpha \le 30^\circ$.

Объем параллелепипеда $V = abc$:$V = (R\sqrt{1 - 4\sin^2\alpha}) \cdot (R\sqrt{3}) \cdot (2R\sin\alpha)$$V = 2\sqrt{3} R^3 \sin\alpha \sqrt{1 - 4\sin^2\alpha}$

Ответ: $V = 2\sqrt{3} R^3 \sin\alpha \sqrt{1 - 4\sin^2\alpha}$ (при условии $0 < \alpha \le 30^\circ$).

б)

Диагональ параллелепипеда составляет с одной гранью угол $\alpha$. Пусть эта грань является основанием с размерами $a \times b$. Тогда высота, перпендикулярная этой грани, равна $c$.$c = d \sin\alpha = 2R \sin\alpha$.

По второму условию, угол между диагональю этой грани ($d_{ab}$) и стороной основания (например, стороной $a$) равен $60^\circ$. В прямоугольнике основания диагональ $d_{ab}$ образует со сторонами $a$ и $b$ прямоугольный треугольник. Отношение сторон $a$ и $b$ можно найти через тангенс этого угла:$\tan(60^\circ) = \frac{b}{a}$$\sqrt{3} = \frac{b}{a} \implies b = a\sqrt{3}$.

Подставим полученные выражения для $b$ и $c$ в формулу для диагонали параллелепипеда $a^2 + b^2 + c^2 = 4R^2$:$a^2 + (a\sqrt{3})^2 + (2R\sin\alpha)^2 = 4R^2$$a^2 + 3a^2 + 4R^2\sin^2\alpha = 4R^2$$4a^2 = 4R^2 - 4R^2\sin^2\alpha$$a^2 = R^2(1 - \sin^2\alpha) = R^2\cos^2\alpha$Так как $a$ — длина стороны, $a > 0$, и можно считать угол $\alpha$ острым ($0 < \alpha < 90^\circ$), то $\cos\alpha > 0$, и мы получаем:$a = R\cos\alpha$.

Теперь найдем остальные измерения:$b = a\sqrt{3} = R\sqrt{3}\cos\alpha$$c = 2R\sin\alpha$

Объем параллелепипеда $V = abc$:$V = (R\cos\alpha) \cdot (R\sqrt{3}\cos\alpha) \cdot (2R\sin\alpha)$$V = 2\sqrt{3} R^3 \cos^2\alpha \sin\alpha$

Ответ: $V = 2\sqrt{3} R^3 \cos^2\alpha \sin\alpha$.