Номер 607, страница 184 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

607. Основанием прямого параллелепипеда является ромб с острым углом $\alpha$. В него вписан цилиндр с радиусом $r$, диагональ осевого сечения которого составляет с основанием угол в $60^\circ$. Найдите объем параллелепипеда.

Объем $V$ прямого параллелепипеда вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота.

Основанием параллелепипеда является ромб с острым углом $\alpha$. Поскольку в параллелепипед вписан цилиндр, то в его основание (ромб) вписано основание цилиндра (круг). Радиус этого круга по условию равен $r$. Высота ромба $h_{ромб}$ равна диаметру вписанной в него окружности, то есть $h_{ромб} = 2r$. Свяжем сторону ромба $a$ с его высотой через острый угол $\alpha$. Из определения синуса в прямоугольном треугольнике, образованном высотой и стороной ромба, имеем $\sin \alpha = \frac{h_{ромб}}{a}$. Отсюда $a = \frac{h_{ромб}}{\sin \alpha} = \frac{2r}{\sin \alpha}$. Площадь основания параллелепипеда, которая является площадью ромба, вычисляется по формуле $S_{осн} = a \cdot h_{ромб}$. Подставив найденные значения, получаем: $S_{осн} = \frac{2r}{\sin \alpha} \cdot 2r = \frac{4r^2}{\sin \alpha}$.

Так как параллелепипед прямой, его высота $H$ совпадает с высотой вписанного цилиндра. Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник со сторонами $2r$ (диаметр основания) и $H$ (высота). Диагональ этого прямоугольника, по условию, образует с плоскостью основания угол $60^\circ$. В прямоугольном треугольнике, образованном диагональю осевого сечения, высотой $H$ и диаметром $2r$, катет $H$ является противолежащим к углу $60^\circ$, а катет $2r$ — прилежащим. Следовательно, $\tan(60^\circ) = \frac{H}{2r}$. Отсюда находим высоту: $H = 2r \cdot \tan(60^\circ) = 2r\sqrt{3}$.

Теперь можем вычислить объем параллелепипеда, умножив площадь основания на высоту: $V = S_{осн} \cdot H = \frac{4r^2}{\sin \alpha} \cdot 2r\sqrt{3} = \frac{8\sqrt{3}r^3}{\sin \alpha}$.

Ответ: $\frac{8\sqrt{3}r^3}{\sin \alpha}$.