Номер 604, страница 184 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

604. Четверть круга $AOB$ с радиусом $r$ вращается вокруг радиуса $OB$. Определите, на каком расстоянии $x$ от центра $O$ нужно выбрать точку $P$ и через нее провести прямую $l$, параллельную радиусу $OA$, чтобы кольцо, описанное отрезком $CD$, где $C$ и $D$ — точки пересечения прямой $l$ с хордой $AB$ и дугой $AB$ соответственно (рис. 405), имело данную площадь $\pi m$, и найдите наибольшее значение этой площади при изменении $x$ от $0$ до $r$.

Рис. 405

Рассмотрим сечение тела вращения плоскостью, проходящей через ось вращения $OB$. В этой плоскости мы имеем четверть круга $AOB$. Введем систему координат с центром в точке $O$, осью $Ox$, направленной по $OA$, и осью $Oy$, направленной по $OB$. В этой системе координат:

• Точка $A$ имеет координаты $(r, 0)$.
• Точка $B$ имеет координаты $(0, r)$.
• Дуга $AB$ является частью окружности с уравнением $x^2 + y^2 = r^2$ для $x \ge 0, y \ge 0$.
• Хорда $AB$ является отрезком прямой, проходящей через точки $A$ и $B$. Уравнение этой прямой: $\frac{x}{r} + \frac{y}{r} = 1$, или $x+y=r$.

Прямая $l$ проходит через точку $P(0, x)$ на радиусе $OB$ и параллельна радиусу $OA$. Следовательно, уравнение прямой $l$ - это $y=x$.

Точка $D$ — это точка пересечения прямой $l$ ($y=x$) с дугой $AB$ ($x^2+y^2=r^2$). Подставив $y=x$ в уравнение дуги, получим: $x_D^2 + x^2 = r^2 \Rightarrow x_D = \sqrt{r^2 - x^2}$. Координаты точки $D$ равны $(\sqrt{r^2 - x^2}, x)$.

Точка $C$ — это точка пересечения прямой $l$ ($y=x$) с хордой $AB$ ($x+y=r$). Подставив $y=x$ в уравнение хорды, получим: $x_C + x = r \Rightarrow x_C = r-x$. Координаты точки $C$ равны $(r-x, x)$.

При вращении отрезка $CD$ вокруг оси $OB$ (оси $Oy$) образуется кольцо. Внешний радиус этого кольца $R_{внеш}$ равен абсциссе точки $D$, а внутренний радиус $R_{внутр}$ равен абсциссе точки $C$. $R_{внеш} = x_D = \sqrt{r^2 - x^2}$ $R_{внутр} = x_C = r-x$

Площадь кольца $S$ вычисляется по формуле: $S(x) = \pi (R_{внеш}^2 - R_{внутр}^2) = \pi ((\sqrt{r^2 - x^2})^2 - (r-x)^2)$ $S(x) = \pi (r^2 - x^2 - (r^2 - 2rx + x^2)) = \pi (r^2 - x^2 - r^2 + 2rx - x^2)$ $S(x) = \pi (2rx - 2x^2) = 2\pi(rx - x^2)$

Определите, на каком расстоянии x от центра O нужно выбрать точку P и через нее провести прямую l, параллельную радиусу OA, чтобы кольцо, описанное отрезком CD, где C и D — точки пересечения прямой l с хордой AB и дугой AB соответственно, имело данную площадь $\pi m$

По условию, площадь кольца равна $\pi m$. Приравниваем полученное выражение для площади к этому значению: $2\pi(rx - x^2) = \pi m$ $2(rx - x^2) = m$ $2x^2 - 2rx + m = 0$

Это квадратное уравнение относительно $x$. Решаем его с помощью дискриминанта: $D = (-2r)^2 - 4 \cdot 2 \cdot m = 4r^2 - 8m = 4(r^2 - 2m)$

Корни уравнения: $x = \frac{2r \pm \sqrt{4(r^2 - 2m)}}{2 \cdot 2} = \frac{2r \pm 2\sqrt{r^2 - 2m}}{4} = \frac{r \pm \sqrt{r^2 - 2m}}{2}$

Решение существует, если дискриминант неотрицателен: $r^2 - 2m \ge 0$, то есть $m \le \frac{r^2}{2}$. Кроме того, расстояние $x$ должно быть в пределах от $0$ до $r$. Оба корня удовлетворяют этому условию при $0 \le m \le \frac{r^2}{2}$.

Ответ: $x = \frac{r \pm \sqrt{r^2 - 2m}}{2}$ при условии, что $0 \le m \le \frac{r^2}{2}$.

и найдите наибольшее значение этой площади при изменении x от 0 до r.

Нам нужно найти наибольшее значение функции $S(x) = 2\pi(rx - x^2)$ на отрезке $[0, r]$. Эта функция является квадратичной параболой с ветвями, направленными вниз. Своё наибольшее значение она принимает в вершине.

Координата $x_0$ вершины параболы $f(x) = ax^2+bx+c$ находится по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$. В нашем случае $S(x) = -2\pi x^2 + 2\pi r x$, где $a = -2\pi$ и $b = 2\pi r$. $x_0 = -\frac{2\pi r}{2(-2\pi)} = \frac{r}{2}$

Значение $x_0 = \frac{r}{2}$ принадлежит отрезку $[0, r]$, следовательно, максимальная площадь достигается именно при $x=\frac{r}{2}$. Найдем это максимальное значение, подставив $x = \frac{r}{2}$ в формулу для площади: $S_{max} = S(\frac{r}{2}) = 2\pi(r \cdot \frac{r}{2} - (\frac{r}{2})^2) = 2\pi(\frac{r^2}{2} - \frac{r^2}{4}) = 2\pi(\frac{2r^2 - r^2}{4}) = 2\pi(\frac{r^2}{4}) = \frac{\pi r^2}{2}$

Ответ: Наибольшее значение площади равно $\frac{\pi r^2}{2}$.