Номер 599, страница 183 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

599. Учитывая, что шар вписан в правильную четырехугольную пирамиду, расстояние от вершины которой до центра шара равно $a$, а угол наклона боковой грани к плоскости основания — $\alpha$, найдите полную поверхность пирамиды.

Пусть $SABCD$ — данная правильная четырехугольная пирамида с вершиной $S$. Основание $ABCD$ — квадрат. Пусть $O$ — центр основания, тогда $SO$ — высота пирамиды $H$. Так как шар вписан в правильную пирамиду, его центр $O_s$ лежит на высоте $SO$. Обозначим радиус шара через $r$. По условию, расстояние от вершины пирамиды до центра шара равно $a$, то есть $SO_s = a$. Высота пирамиды $H$ складывается из отрезков $SO_s$ и $O_sO$, где $O_sO = r$. Таким образом, $H = SO = a + r$.

Проведем апофему $SM$ боковой грани $SBC$ (где $M$ — середина ребра $BC$). Угол наклона боковой грани к плоскости основания — это угол $\angle SMO = \alpha$.

Рассмотрим осевое сечение пирамиды, проходящее через высоту $SO$ и апофему $SM$. В этом сечении шар представляет собой круг с центром $O_s$ и радиусом $r$, который касается апофемы $SM$ и отрезка $OM$ (части основания).

1. Нахождение радиуса вписанного шара

Центр вписанного шара $O_s$ равноудален от всех граней пирамиды. Расстояние от $O_s$ до боковой грани $SBC$ равно радиусу шара $r$. Проведем перпендикуляр $O_sK$ из точки $O_s$ к апофеме $SM$. Тогда $O_sK = r$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SOM$. В нем $\angle SOM = 90^\circ$ и $\angle SMO = \alpha$. Следовательно, угол при вершине $\angle OSM = 90^\circ - \alpha$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SO_sK$, у которого $\angle SKO_s = 90^\circ$. Его гипотенуза $SO_s = a$, катет $O_sK = r$, а угол $\angle KSO_s = \angle OSM = 90^\circ - \alpha$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике $\triangle SO_sK$ имеем: $sin(\angle KSO_s) = \frac{O_sK}{SO_s}$ $sin(90^\circ - \alpha) = \frac{r}{a}$ $cos(\alpha) = \frac{r}{a}$

Отсюда находим радиус вписанного шара: $r = a \cdot cos(\alpha)$

2. Нахождение элементов пирамиды для вычисления площади

Теперь, зная $r$, мы можем выразить все необходимые элементы пирамиды через $a$ и $\alpha$.

• Высота пирамиды $H$: $H = a + r = a + a \cdot cos(\alpha) = a(1 + cos(\alpha))$
• Отрезок $OM$ (половина стороны основания): Из $\triangle SOM$: $tan(\alpha) = \frac{SO}{OM} = \frac{H}{OM}$, откуда $OM = \frac{H}{tan(\alpha)} = \frac{a(1 + cos(\alpha))}{tan(\alpha)}$.
• Сторона основания $b$: $b = 2 \cdot OM = \frac{2a(1 + cos(\alpha))}{tan(\alpha)}$
• Апофема $L$ (длина $SM$): Из $\triangle SOM$: $sin(\alpha) = \frac{SO}{SM} = \frac{H}{L}$, откуда $L = \frac{H}{sin(\alpha)} = \frac{a(1 + cos(\alpha))}{sin(\alpha)}$.

3. Вычисление полной поверхности пирамиды

Полная поверхность пирамиды $S_{полн}$ равна сумме площади основания $S_{осн}$ и площади боковой поверхности $S_{бок}$.

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = b^2 + \frac{1}{2} P_{осн} \cdot L = b^2 + 2bL$

$S_{осн} = b^2 = \left(\frac{2a(1 + cos(\alpha))}{tan(\alpha)}\right)^2 = \frac{4a^2(1 + cos(\alpha))^2}{tan^2(\alpha)} = \frac{4a^2(1 + cos(\alpha))^2 \cdot cos^2(\alpha)}{sin^2(\alpha)}$

$S_{бок} = 2bL = 2 \cdot \frac{2a(1 + cos(\alpha))}{tan(\alpha)} \cdot \frac{a(1 + cos(\alpha))}{sin(\alpha)} = \frac{4a^2(1 + cos(\alpha))^2}{tan(\alpha)sin(\alpha)}$

Так как $tan(\alpha) = \frac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)}$, то $tan(\alpha)sin(\alpha) = \frac{sin^2(\alpha)}{cos(\alpha)}$.

$S_{бок} = \frac{4a^2(1 + cos(\alpha))^2}{\frac{sin^2(\alpha)}{cos(\alpha)}} = \frac{4a^2(1 + cos(\alpha))^2 \cdot cos(\alpha)}{sin^2(\alpha)}$

Теперь сложим площади: $S_{полн} = \frac{4a^2(1 + cos(\alpha))^2 cos^2(\alpha)}{sin^2(\alpha)} + \frac{4a^2(1 + cos(\alpha))^2 cos(\alpha)}{sin^2(\alpha)}$

Вынесем общий множитель за скобки: $S_{полн} = \frac{4a^2(1 + cos(\alpha))^2 cos(\alpha)}{sin^2(\alpha)} (cos(\alpha) + 1)$

$S_{полн} = \frac{4a^2cos(\alpha)(1 + cos(\alpha))^3}{sin^2(\alpha)}$

Для упрощения выражения воспользуемся тригонометрическим тождеством $sin^2(\alpha) = 1 - cos^2(\alpha) = (1 - cos(\alpha))(1 + cos(\alpha))$.

$S_{полн} = \frac{4a^2cos(\alpha)(1 + cos(\alpha))^3}{(1 - cos(\alpha))(1 + cos(\alpha))} = \frac{4a^2cos(\alpha)(1 + cos(\alpha))^2}{1 - cos(\alpha)}$

Ответ: $S_{полн} = \frac{4a^2cos(\alpha)(1 + cos(\alpha))^2}{1 - cos(\alpha)}$