Номер 593, страница 182 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

593. Найдите площадь сечения шара плоскостью, которая:

а) отстоит от центра на 10 см, а радиус шара равен 60 см;

б) отстоит от центра на 19 дм, а радиус шара равен 82 см;

в) проведена через середину радиуса длиной 28 см;

г) проведена через конец радиуса длиной $R$ под углом в $60^\circ$ к нему.

а) отстоит от центра на 10 см, а радиус шара равен 60 см;

Сечение шара плоскостью представляет собой круг. Чтобы найти его площадь, нужно определить радиус этого круга. Обозначим радиус шара как $R$, расстояние от центра шара до секущей плоскости как $d$, и радиус сечения как $r$. Эти три величины связаны соотношением, вытекающим из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника, где $R$ — гипотенуза, а $d$ и $r$ — катеты: $R^2 = d^2 + r^2$.

Отсюда можно выразить квадрат радиуса сечения: $r^2 = R^2 - d^2$.

Площадь сечения (круга) вычисляется по формуле $S = \pi r^2$.

По условию задачи имеем:

$R = 60$ см

$d = 10$ см

Подставим эти значения в формулу для квадрата радиуса сечения:

$r^2 = 60^2 - 10^2 = 3600 - 100 = 3500$ см².

Теперь вычислим площадь сечения:

$S = \pi \cdot 3500 = 3500\pi$ см².

Ответ: $3500\pi$ см².

б) отстоит от центра на 19 дм, а радиус шара равен 82 см;

Для решения задачи необходимо, чтобы все величины были в одних единицах измерения. Переведем дециметры в сантиметры. Так как 1 дм = 10 см, то расстояние от центра до плоскости равно:

$d = 19 \text{ дм} = 19 \times 10 \text{ см} = 190$ см.

Радиус шара по условию $R = 82$ см.

Плоскость пересекает шар только в том случае, если расстояние от центра шара до этой плоскости не превышает радиус шара, то есть должно выполняться условие $d \le R$.

В данном случае $d = 190$ см, а $R = 82$ см. Мы видим, что $d > R$ ($190 > 82$).

Это означает, что плоскость не пересекает шар. Следовательно, площадь сечения равна нулю.

Ответ: 0.

в) проведена через середину радиуса длиной 28 см;

Из условия следует, что радиус шара $R = 28$ см. Фраза "проведена через середину радиуса" обычно подразумевает, что секущая плоскость перпендикулярна данному радиусу и проходит через его середину. Таким образом, расстояние от центра шара до плоскости $d$ равно половине радиуса:

$d = \frac{R}{2} = \frac{28}{2} = 14$ см.

Используем ту же зависимость, что и в пункте а): $r^2 = R^2 - d^2$.

Подставим известные значения:

$r^2 = 28^2 - 14^2 = 784 - 196 = 588$ см².

Площадь сечения $S$ равна:

$S = \pi r^2 = 588\pi$ см².

Ответ: $588\pi$ см².

г) проведена через конец радиуса длиной R под углом в 60° к нему.

Пусть $O$ — центр шара, $OA$ — радиус шара длиной $R$. Секущая плоскость $\alpha$ проходит через точку $A$ (конец радиуса) и образует с радиусом $OA$ угол $60^\circ$.

Угол между прямой (радиусом) и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на плоскость. Пусть $H$ — основание перпендикуляра, опущенного из центра $O$ на плоскость $\alpha$. Тогда $OH = d$ — это расстояние от центра до плоскости, а $AH$ — проекция радиуса $OA$ на плоскость $\alpha$. Треугольник $OHA$ — прямоугольный ($\angle OHA = 90^\circ$), и по определению $\angle OAH = 60^\circ$.

Радиус сечения $r$ равен длине отрезка $AH$. Из прямоугольного треугольника $OHA$ находим $r$:

$r = AH = OA \cdot \cos(\angle OAH) = R \cdot \cos(60^\circ)$.

Зная, что $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:

$r = R \cdot \frac{1}{2} = \frac{R}{2}$.

Теперь находим площадь сечения $S$ по формуле $S = \pi r^2$:

$S = \pi \left(\frac{R}{2}\right)^2 = \pi \frac{R^2}{4}$.

Ответ: $\frac{\pi R^2}{4}$.