Номер 589, страница 182 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

589. Найдите отношение:

а) полной поверхности цилиндра, вписанного в шар, к поверхности шара, учитывая, что высота цилиндра равна диаметру его основания;

б) полной поверхности цилиндра к поверхности вписанного в него шара.

а)

Пусть $R$ — радиус шара, а $r$ и $h$ — радиус основания и высота вписанного в него цилиндра соответственно.

Площадь поверхности шара вычисляется по формуле: $S_{шара} = 4 \pi R^2$.

Полная поверхность цилиндра состоит из площади боковой поверхности и двух площадей оснований: $S_{цил} = S_{бок} + 2S_{осн} = 2 \pi r h + 2 \pi r^2$.

По условию задачи, высота цилиндра равна диаметру его основания, то есть $h = 2r$. Такой цилиндр называется равносторонним. Подставим это соотношение в формулу площади поверхности цилиндра: $S_{цил} = 2 \pi r (2r) + 2 \pi r^2 = 4 \pi r^2 + 2 \pi r^2 = 6 \pi r^2$.

Так как цилиндр вписан в шар, его вершины лежат на поверхности шара. Рассмотрим осевое сечение этой комбинации тел. Сечением шара будет большой круг радиуса $R$, а сечением цилиндра — прямоугольник со сторонами $h$ и $2r$. Диагональ этого прямоугольника является диаметром шара. Связь между радиусами шара и цилиндра, а также высотой цилиндра можно найти с помощью теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника, катетами которого являются радиус основания цилиндра $r$ и половина его высоты $h/2$, а гипотенузой — радиус шара $R$: $R^2 = r^2 + (\frac{h}{2})^2$.

Подставим в это уравнение условие $h = 2r$: $R^2 = r^2 + (\frac{2r}{2})^2 = r^2 + r^2 = 2r^2$.

Отсюда выразим $r^2$ через $R^2$: $r^2 = \frac{R^2}{2}$.

Теперь подставим это выражение в формулу для площади полной поверхности цилиндра: $S_{цил} = 6 \pi r^2 = 6 \pi (\frac{R^2}{2}) = 3 \pi R^2$.

Найдем искомое отношение площади полной поверхности цилиндра к площади поверхности шара: $\frac{S_{цил}}{S_{шара}} = \frac{3 \pi R^2}{4 \pi R^2} = \frac{3}{4}$.

Ответ: $\frac{3}{4}$.

б)

Пусть $R$ — радиус шара, вписанного в цилиндр, а $r$ и $h$ — радиус основания и высота цилиндра соответственно.

Площадь полной поверхности цилиндра вычисляется по формуле: $S_{цил} = 2 \pi r h + 2 \pi r^2$.

Площадь поверхности шара: $S_{шара} = 4 \pi R^2$.

Если шар вписан в цилиндр, то он касается обоих оснований цилиндра и его боковой поверхности. Это означает, что:

1. Радиус основания цилиндра равен радиусу шара: $r = R$.
2. Высота цилиндра равна диаметру шара: $h = 2R$.

Подставим эти соотношения в формулу площади полной поверхности цилиндра, чтобы выразить ее через радиус шара $R$: $S_{цил} = 2 \pi (R)(2R) + 2 \pi (R)^2 = 4 \pi R^2 + 2 \pi R^2 = 6 \pi R^2$.

Теперь найдем отношение площади полной поверхности цилиндра к площади поверхности вписанного в него шара: $\frac{S_{цил}}{S_{шара}} = \frac{6 \pi R^2}{4 \pi R^2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$.

Ответ: $\frac{3}{2}$.