Номер 584, страница 181 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

584. Найдите полную поверхность конуса, учитывая, что:

а) его образующая составляет с плоскостью основания угол в $45^\circ$, а высота равна 6 см;

б) он описан около шара с радиусом $r$, а угол между образующей и основанием конуса равен $\alpha$;

в) он получен свертыванием жестяного сектора с углом в $270^\circ$ и радиусом 7,1 см и закрыт жестяным кругом.

а)

Полная поверхность конуса $S_{полн}$ вычисляется по формуле $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = \pi R^2 + \pi Rl = \pi R(R+l)$, где $R$ – радиус основания, $l$ – длина образующей.

Рассмотрим осевое сечение конуса. Это равнобедренный треугольник, половиной которого является прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса $h$, радиусом его основания $R$ и образующей $l$. В этом треугольнике $l$ является гипотенузой, а $h$ и $R$ – катетами.

По условию, угол между образующей и плоскостью основания равен $45^\circ$. Это угол между $l$ и $R$ в нашем прямоугольном треугольнике. Так как один из острых углов прямоугольного треугольника равен $45^\circ$, то и второй острый угол также равен $180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Следовательно, этот треугольник является равнобедренным, и его катеты равны: $R = h$.

Дано, что высота $h = 6$ см. Значит, и радиус основания $R = 6$ см.

Образующую $l$ найдем по теореме Пифагора:$l = \sqrt{h^2 + R^2} = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$ см.

Теперь можем вычислить полную поверхность конуса:$S_{полн} = \pi R(R+l) = \pi \cdot 6 \cdot (6 + 6\sqrt{2}) = 36\pi(1 + \sqrt{2})$ см².

Ответ: $36\pi(1 + \sqrt{2})$ см².

б)

Конус описан около шара, это означает, что шар вписан в конус. Рассмотрим осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник, в который вписана окружность (большой круг шара) радиусом $r$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса $h$, радиусом основания $R$ и образующей $l$. Угол между образующей $l$ и радиусом основания $R$ равен $\alpha$. Центр вписанной окружности лежит на высоте конуса и является точкой пересечения биссектрис углов треугольника.

Рассмотрим малый прямоугольный треугольник, образованный радиусом основания $R$, радиусом вписанной окружности $r$ (как отрезком, соединяющим центр окружности с центром основания конуса) и отрезком, соединяющим центр окружности с точкой на окружности основания. Биссектриса угла $\alpha$ делит его пополам. В этом малом треугольнике катеты равны $R$ и $r$. Угол при вершине на основании равен $\alpha/2$. Таким образом, мы имеем соотношение:$\tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{r}{R}$

Отсюда выразим радиус основания конуса $R$:$R = \frac{r}{\tan(\frac{\alpha}{2})} = r \cot(\frac{\alpha}{2})$

Из основного прямоугольного треугольника (осевого сечения) найдем образующую $l$:$\cos(\alpha) = \frac{R}{l} \implies l = \frac{R}{\cos(\alpha)}$Подставим выражение для $R$:$l = \frac{r \cot(\frac{\alpha}{2})}{\cos(\alpha)}$

Теперь вычислим полную поверхность конуса по формуле $S_{полн} = \pi R(R+l)$:$S_{полн} = \pi \left(r \cot\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right) \left(r \cot\left(\frac{\alpha}{2}\right) + \frac{r \cot(\frac{\alpha}{2})}{\cos(\alpha)}\right)$$S_{полн} = \pi r^2 \cot^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) \left(1 + \frac{1}{\cos(\alpha)}\right)$Это выражение можно упростить, используя формулы двойного угла: $1+\cos(\alpha) = 2\cos^2(\frac{\alpha}{2})$ и $\cot^2(\frac{\alpha}{2}) = \frac{1+\cos(\alpha)}{1-\cos(\alpha)}$.$S_{полн} = \pi r^2 \frac{1+\cos(\alpha)}{1-\cos(\alpha)} \left(\frac{\cos(\alpha)+1}{\cos(\alpha)}\right) = \pi r^2 \frac{(1+\cos(\alpha))^2}{\cos(\alpha)(1-\cos(\alpha))}$

Ответ: $\pi r^2 \cot^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) \left(1 + \frac{1}{\cos(\alpha)}\right)$ или $\pi r^2 \frac{(1+\cos(\alpha))^2}{\cos(\alpha)(1-\cos(\alpha))}$.

в)

Конус получен свертыванием сектора. При этом радиус сектора становится образующей конуса ($l$), а длина дуги сектора становится длиной окружности основания конуса ($C$).

По условию, радиус сектора равен $7,1$ см, следовательно, образующая конуса $l = 7,1$ см. Угол сектора $\theta = 270^\circ$.

Найдем длину дуги сектора $L_{дуги}$:$L_{дуги} = \frac{\theta}{360^\circ} \cdot 2\pi l = \frac{270}{360} \cdot 2\pi (7,1) = \frac{3}{4} \cdot 2\pi (7,1) = \frac{3}{2}\pi \cdot 7,1 = 10,65\pi$ см.

Длина дуги равна длине окружности основания конуса $C = 2\pi R$:$2\pi R = 10,65\pi$$2R = 10,65$$R = \frac{10,65}{2} = 5,325$ см.

Полная поверхность конуса состоит из площади боковой поверхности (которая равна площади исходного сектора) и площади основания (круга). Площадь боковой поверхности (площадь сектора):$S_{бок} = \frac{\theta}{360^\circ} \cdot \pi l^2 = \frac{270}{360} \cdot \pi (7,1)^2 = \frac{3}{4} \pi \cdot 50,41 = 37,8075\pi$ см². Проверим по формуле $S_{бок} = \pi R l$:$S_{бок} = \pi \cdot 5,325 \cdot 7,1 = 37,8075\pi$ см². Совпадает.

Площадь основания конуса:$S_{осн} = \pi R^2 = \pi (5,325)^2 = 28,355625\pi$ см².

Полная поверхность конуса:$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 28,355625\pi + 37,8075\pi = 66,163125\pi$ см².

Ответ: $66,163125\pi$ см².