Номер 580, страница 181 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

580. Около шара с радиусом $r$ описана правильная треугольная призма.

Найдите ее:

а) боковую поверхность;

б) полную поверхность.

Пусть дана правильная треугольная призма, описанная около шара радиуса $r$. Это означает, что основаниями призмы являются два равных равносторонних треугольника, а боковые грани — равные прямоугольники. Шар касается всех граней призмы: двух оснований и трех боковых граней.

Высота призмы $h$ равна расстоянию между ее основаниями. Поскольку шар касается обоих оснований, его диаметр должен быть равен высоте призмы. Следовательно, высота призмы $h = 2r$.

Рассмотрим сечение призмы плоскостью, которая проходит через центр шара параллельно основаниям. В этом сечении мы получим равносторонний треугольник, в который вписана большая окружность шара (окружность с радиусом $r$). Сторона этого треугольника, обозначим ее $a$, является стороной основания призмы.

Связь между стороной равностороннего треугольника $a$ и радиусом вписанной в него окружности $r$ выражается формулой: $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$

Из этой формулы мы можем выразить сторону основания призмы $a$ через радиус шара $r$: $a = 2\sqrt{3}r$

Теперь, зная высоту $h$ и сторону основания $a$ призмы, мы можем найти площади ее поверхностей.

а) боковую поверхность;

Площадь боковой поверхности прямой призмы $S_{бок}$ вычисляется как произведение периметра ее основания $P$ на высоту $h$. $S_{бок} = P \cdot h$

Периметр основания (равностороннего треугольника со стороной $a$) равен $P = 3a$. Подставим выражение для $a$: $P = 3 \cdot (2\sqrt{3}r) = 6\sqrt{3}r$

Теперь вычислим площадь боковой поверхности, используя $h = 2r$: $S_{бок} = (6\sqrt{3}r) \cdot (2r) = 12\sqrt{3}r^2$

Ответ: $12\sqrt{3}r^2$.

б) полную поверхность.

Площадь полной поверхности призмы $S_{полн}$ равна сумме площади ее боковой поверхности $S_{бок}$ и удвоенной площади основания $S_{осн}$. $S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн}$

Площадь основания (равностороннего треугольника со стороной $a$) вычисляется по формуле: $S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Подставим в эту формулу выражение для $a = 2\sqrt{3}r$: $S_{осн} = \frac{(2\sqrt{3}r)^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(4 \cdot 3 \cdot r^2)\sqrt{3}}{4} = \frac{12r^2\sqrt{3}}{4} = 3\sqrt{3}r^2$

Теперь можем найти площадь полной поверхности: $S_{полн} = 12\sqrt{3}r^2 + 2 \cdot (3\sqrt{3}r^2) = 12\sqrt{3}r^2 + 6\sqrt{3}r^2 = 18\sqrt{3}r^2$

Ответ: $18\sqrt{3}r^2$.