Номер 582, страница 181 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

582. Ось цилиндра с радиусом основания $r$ и вдвое большей высотой является границей двух полуплоскостей, двугранный угол между которыми равен $36^\circ$. Найдите полную поверхность образовавшейся меньшей части цилиндра.

По условию задачи, радиус основания цилиндра равен $r$, а его высота $h$ вдвое больше радиуса, то есть $h = 2r$.

Цилиндр рассекается двумя полуплоскостями, которые проходят через его ось и образуют между собой двугранный угол $\alpha = 36^\circ$. Эти плоскости вырезают из цилиндра сектор. Нам необходимо найти площадь полной поверхности меньшей из двух образовавшихся частей.

Полная поверхность этой части складывается из площади части боковой поверхности цилиндра, площадей двух секторов в основаниях и площадей двух прямоугольников, образованных секущими плоскостями.

1. Площадь части боковой поверхности ($S_{бок}$)

Площадь всей боковой поверхности цилиндра равна $S_{полн.бок} = 2\pi rh$. Рассматриваемая часть составляет долю $\frac{\alpha}{360^\circ} = \frac{36^\circ}{360^\circ} = \frac{1}{10}$ от всей боковой поверхности. С учетом того, что $h=2r$, получаем:

$S_{бок} = \frac{1}{10} \cdot 2\pi r h = \frac{1}{10} \cdot 2\pi r (2r) = \frac{4\pi r^2}{10} = \frac{2\pi r^2}{5}$

2. Площадь двух секторов в основаниях ($S_{сект}$)

Площадь одного основания (круга) равна $S_{осн} = \pi r^2$. Площадь сектора с центральным углом $36^\circ$ составляет $\frac{1}{10}$ от площади круга. Так как у нас два таких сектора (в верхнем и нижнем основаниях), их общая площадь равна:

$S_{сект} = 2 \cdot \left(\frac{1}{10} S_{осн}\right) = 2 \cdot \frac{1}{10} \pi r^2 = \frac{\pi r^2}{5}$

3. Площадь двух прямоугольных сечений ($S_{сеч}$)

Секущие плоскости образуют внутри цилиндра два прямоугольника. Стороны каждого прямоугольника — это радиус основания $r$ и высота цилиндра $h = 2r$. Площадь одного такого прямоугольника равна $r \cdot h = r \cdot 2r = 2r^2$. Так как прямоугольников два, их общая площадь:

$S_{сеч} = 2 \cdot (2r^2) = 4r^2$

4. Полная поверхность меньшей части цилиндра ($S_{полн}$)

Полная поверхность — это сумма площадей всех найденных частей:

$S_{полн} = S_{бок} + S_{сект} + S_{сеч}$

$S_{полн} = \frac{2\pi r^2}{5} + \frac{\pi r^2}{5} + 4r^2 = \frac{3\pi r^2}{5} + 4r^2$

Вынесем общий множитель $r^2$ за скобки:

$S_{полн} = r^2 \left( \frac{3\pi}{5} + 4 \right)$

Ответ: $r^2 \left( \frac{3\pi}{5} + 4 \right)$